Номер 358, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 358, страница 96.

Условие.

358 ☐ Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку, образуют треугольник. Точка, равноудалённая от трёх прямых, является центром окружности, касающейся этих трёх прямых. Существует четыре таких окружности: одна вписанная и три вневписанные. Соответственно, задача имеет четыре точки-решения.

Постройте точку, равноудалённую от этих прямых.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Чтобы найти точку, равноудалённую от всех трёх прямых, нужно найти точку пересечения биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Пусть данные прямые $a, b, c$ образуют треугольник $ABC$. Существует 4 точки, удовлетворяющие условию:

1. Центр вписанной окружности (инцентр). Эта точка лежит внутри треугольника.
   Построение:
   • Строим биссектрису одного внутреннего угла треугольника, например, угла $A$.
   • Строим биссектрису другого внутреннего угла, например, угла $B$.
   • Точка пересечения этих двух биссектрис является центром вписанной окружности и первым решением.
2. Центры вневписанных окружностей (эксцентры). Эти три точки лежат вне треугольника.
   Построение (на примере одного из центров):
   • Строим биссектрису одного внутреннего угла, например, угла $A$.
   • Строим биссектрису одного из внешних углов при другой вершине, например, внешнего угла при вершине $B$.
   • Точка пересечения этих биссектрис является центром вневписанной окружности и вторым решением.
   Аналогично строятся два других центра вневписанных окружностей.

Ответ: Для построения искомой точки нужно построить треугольник, образованный данными прямыми, и найти точку пересечения биссектрис его углов. Например, можно построить биссектрисы двух любых внутренних углов треугольника — их точка пересечения будет одним из решений.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет четыре решения, так как существует четыре точки, равноудалённые от трёх прямых, образующих треугольник:

• Одна точка — центр вписанной окружности треугольника (инцентр). Она является точкой пересечения трёх биссектрис внутренних углов треугольника.
• Три точки — центры трёх вневписанных окружностей треугольника (эксцентры). Каждая из них является точкой пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов треугольника.

Ответ: Задача имеет 4 решения.