Номер 359, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 359, страница 96.

Условие.

359 □ Дана окружность с центром $O$ и точка $A$ вне её. Проведите через точку $A$ прямую, пересекающую окружность в точках $B$ и $C$ таких, что $AB = BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся методом анализа, построения и доказательства.

Анализ

Пусть искомая прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружность с центром $O$ в точках $B$ и $C$ так, что $AB = BC$. Предположим, что точки на прямой расположены в порядке $A$, $B$, $C$.

Из условия $AB = BC$ следует, что точка $B$ является серединой отрезка $AC$. Таким образом, $AC = AB + BC = 2AB$.

Воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности. Степень точки $A$ относительно данной окружности постоянна для любой секущей, проходящей через $A$. Если $AT$ — касательная, проведенная из точки $A$ к окружности ($T$ — точка касания), то степень точки $A$ равна $AT^2$. Для секущей $AC$ степень точки $A$ равна произведению $AB \cdot AC$.

Следовательно, мы имеем равенство: $AB \cdot AC = AT^2$

Подставим в это равенство $AC = 2AB$: $AB \cdot (2AB) = AT^2$ $2AB^2 = AT^2$ $AB \sqrt{2} = AT$ $AB = \frac{AT}{\sqrt{2}}$

Это соотношение дает нам ключ к построению. Длина отрезка $AB$ равна стороне квадрата, диагональю которого является отрезок касательной $AT$. Точка $B$ является точкой пересечения двух окружностей: исходной и окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $AB$.

Построение

Построение искомой прямой можно выполнить в несколько шагов:

1. Проведем касательную к окружности из точки $A$. Для этого:
   • Соединим точки $A$ и $O$.
   • Найдем середину $M$ отрезка $AO$.
   • Построим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $MA$.
   • Эта окружность пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначим одну из них как $T$. Прямая $AT$ будет касательной к исходной окружности.
2. Найдем длину отрезка $AB = \frac{AT}{\sqrt{2}}$. Это можно сделать, построив равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $AT$. Катет этого треугольника будет иметь искомую длину.
   • На отрезке $AT$ как на диаметре строим окружность.
   • Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AT$.
   • Точка пересечения $P$ этой окружности и серединного перпендикуляра образует с точками $A$ и $T$ равнобедренный прямоугольный треугольник $APT$. Длина катета $AP$ равна $\frac{AT}{\sqrt{2}}$.
3. Находим точку $B$. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AP$.
4. Эта окружность пересечет исходную окружность в двух точках (если расстояние $AO$ не слишком велико), обозначим их $B_1$ и $B_2$.
5. Проводим прямые $AB_1$ и $AB_2$. Каждая из этих прямых является решением задачи.

Доказательство

Пусть мы построили прямую, проходящую через $A$ и одну из найденных точек, например $B_1$. Назовем ее просто $B$. По построению, точка $B$ лежит на исходной окружности. Прямая $AB$ пересекает окружность в еще одной точке, назовем ее $C$.

По теореме о степени точки $A$ относительно окружности, $AB \cdot AC = AT^2$.

Из нашего построения мы знаем, что $AB = \frac{AT}{\sqrt{2}}$, откуда $AB^2 = \frac{AT^2}{2}$, или $AT^2 = 2AB^2$.

Подставим это в равенство из теоремы о степени точки: $AB \cdot AC = 2AB^2$

Поскольку $A$ находится вне окружности, $AB \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $AB$: $AC = 2AB$

Так как точки расположены в порядке $A-B-C$, то $AC = AB + BC$. Следовательно: $AB + BC = 2AB$ $BC = AB$

Это и требовалось доказать. Построение верно.

Примечание: Задача имеет два решения, если окружность, построенная на шаге 3, пересекает исходную в двух точках (что возможно при $R < AO < 3R$), одно решение, если они касаются ($AO=3R$), и не имеет решений, если они не пересекаются ($AO>3R$).

Ответ: Алгоритм построения искомой прямой описан в разделе "Построение".