Номер 352, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 352, страница 96.

Условие.

352. Даны две точки $A$ и $B$ и прямая $a$, не проходящая через эти точки. На прямой $a$ постройте точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$. Всегда ли задача имеет решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

На прямой a постройте точку, равноудаленную от точек A и B

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек A и B, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Обозначим эту прямую как m.

Искомая точка, назовем ее M, должна удовлетворять двум условиям:
1. Принадлежать прямой a (согласно условию задачи).
2. Быть равноудаленной от точек A и B, то есть должно выполняться равенство $MA = MB$. Это означает, что точка M должна принадлежать серединному перпендикуляру m.

Следовательно, искомая точка M является точкой пересечения данной прямой a и серединного перпендикуляра m к отрезку AB.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки A и B отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр m к отрезку AB. Для этого с помощью циркуля и линейки нужно:
   • Провести две дуги окружности с одинаковым радиусом $R$ (где $R > \frac{1}{2}AB$) с центрами в точках A и B.
   • Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр m.
3. Найти точку пересечения прямой a и построенной прямой m. Эта точка и будет искомой точкой M.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой a и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Всегда ли задача имеет решение?

Решение задачи, как было установлено выше, сводится к нахождению точки пересечения двух прямых: данной прямой a и серединного перпендикуляра m. Проанализируем возможные случаи их взаимного расположения на плоскости:

• Случай 1: Прямые a и m пересекаются.
  Это происходит, если они не параллельны. В этом случае существует ровно одна точка пересечения, и, следовательно, задача имеет единственное решение. Это наиболее общий случай.
• Случай 2: Прямые a и m параллельны, но не совпадают ($a \parallel m$ и $a \neq m$).
  В этом случае прямые не имеют общих точек, и задача не имеет решений. Геометрически это означает, что прямая a перпендикулярна отрезку AB, но не проходит через его середину.
• Случай 3: Прямые a и m совпадают ($a = m$).
  В этом случае любая точка прямой a является решением, так как прямая a сама является серединным перпендикуляром к отрезку AB. В этом случае задача имеет бесконечно много решений.

Поскольку существует случай (Случай 2), когда задача не имеет решений, мы можем заключить, что задача не всегда имеет решение.

Ответ: Нет, не всегда. Задача не имеет решения в том случае, если прямая a параллельна серединному перпендикуляру к отрезку AB, но не совпадает с ним.