Номер 346, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 346, страница 94.

Условие.

346. В треугольнике $ABC$, где $AB < AC$, отрезок $AD$ — биссектриса, отрезок $AH$ — высота. Докажите, что точка $H$ лежит на луче $DB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором по условию дано, что сторона $AB$ меньше стороны $AC$, то есть $AB < AC$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, следовательно, угол $C$, лежащий против стороны $AB$, меньше угла $B$, лежащего против стороны $AC$. Таким образом, получаем неравенство $\angle C < \angle B$.

Так как $AB < AC$, угол $C$ не может быть тупым. Если предположить, что $\angle C$ — тупой (больше $90^\circ$), то он был бы наибольшим углом в треугольнике, и тогда противолежащая ему сторона $AB$ должна была бы быть наибольшей стороной, что противоречило бы условию $AB < AC$. Следовательно, угол $C$ — острый.

Рассмотрим два возможных случая для угла $B$, учитывая, что $\angle B > \angle C$.

1. Угол $B$ — острый или прямой ($\angle B \le 90^\circ$).

В этом случае основание высоты $AH$, точка $H$, лежит на отрезке $BC$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$, в которых $\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$. Выразим углы $\angle BAH$ и $\angle CAH$:
$\angle BAH = 90^\circ - \angle B$
$\angle CAH = 90^\circ - \angle C$

Поскольку мы установили, что $\angle B > \angle C$, то $90^\circ - \angle B < 90^\circ - \angle C$, из чего следует, что $\angle BAH < \angle CAH$.

По условию, $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, поэтому она делит этот угол пополам: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC$. Сам угол $\angle BAC$ равен сумме его частей: $\angle BAC = \angle BAH + \angle CAH$. Следовательно, $\angle BAD = \frac{\angle BAH + \angle CAH}{2}$.

Так как $\angle BAH < \angle CAH$, то значение $\frac{\angle BAH + \angle CAH}{2}$ (которое является их средним арифметическим) будет больше, чем $\angle BAH$. Таким образом, $\angle BAH < \angle BAD$.

Неравенство $\angle BAH < \angle BAD$ означает, что луч $AH$ расположен между лучами $AB$ и $AD$. Поскольку точки $B, H, D$ являются точками пересечения этих лучей (исходящих из одной вершины $A$) с прямой $BC$, то на прямой $BC$ они располагаются в том же порядке: точка $H$ лежит между точками $B$ и $D$.

Если точка $H$ лежит между точками $B$ и $D$, то она принадлежит отрезку $BD$, а значит, и лучу $DB$, который начинается в точке $D$ и проходит через точку $B$.

2. Угол $B$ — тупой ($\angle B > 90^\circ$).

В этом случае основание высоты $AH$, точка $H$, лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$. Таким образом, порядок точек на прямой, содержащей сторону $BC$, будет $H, B, C$.

Биссектриса $AD$ угла треугольника всегда пересекает противолежащую сторону $BC$ во внутренней точке, то есть точка $D$ лежит на отрезке $BC$ (между $B$ и $C$).

Совмещая эти два факта о расположении точек $H$ и $D$, получаем следующий их порядок на прямой: $H, B, D, C$.

Луч $DB$ — это часть прямой, которая начинается в точке $D$ и проходит через точку $B$, продолжаясь бесконечно в этом направлении. В нашем расположении точек ($H, B, D, C$) точка $B$ лежит между $H$ и $D$. По определению луча, это означает, что точка $H$ лежит на луче $DB$.

Таким образом, в обоих возможных случаях точка $H$ лежит на луче $DB$.

Ответ: Утверждение доказано.