Номер 342, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 342, страница 93.

Условие.

342 Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Пусть из вершины $B$ к стороне $AC$ проведен отрезок $BM$.

По условию теоремы, отрезок $BM$ является одновременно биссектрисой угла $\angle ABC$ и медианой, проведенной к стороне $AC$.

Это означает, что:

1. $BM$ — биссектриса, следовательно, $\angle ABM = \angle CBM$.

2. $BM$ — медиана, следовательно, $AM = MC$.

Доказать:

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BM$ делит исходный треугольник: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Для доказательства равенства этих треугольников воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сравним элементы этих треугольников:

- Сторона $AM$ в $\triangle ABM$ равна стороне $MC$ в $\triangle CBM$ ($AM = MC$), так как $BM$ — медиана по условию.

- Угол $\angle ABM$ в $\triangle ABM$ равен углу $\angle CBM$ в $\triangle CBM$ ($\angle ABM = \angle CBM$), так как $BM$ — биссектриса по условию.

- Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны: $\triangle ABM \cong \triangle CBM$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие против равных углов. Сторона $AB$ в $\triangle ABM$ соответствует стороне $BC$ в $\triangle CBM$. Следовательно, $AB = BC$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, то по определению он является равнобедренным. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение теоремы доказано.