Номер 341, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 341, страница 93.

Условие.

341. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $AC$, отрезок $AD$ — биссектриса. Докажите, что $\angle ADB > \angle ADC$ и $BD > CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство, что $\angle ADB > \angle ADC$

В треугольнике $ABC$ по условию дано, что сторона $AB$ больше стороны $AC$ ($AB > AC$). Согласно свойству углов треугольника, против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, $\angle ACB > \angle ABC$.

Рассмотрим угол $\angle ADB$. Он является внешним для треугольника $ACD$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ADB = \angle CAD + \angle ACD$ (где $\angle ACD$ — это $\angle ACB$).

Аналогично, угол $\angle ADC$ является внешним для треугольника $ABD$. Его величина равна:

$\angle ADC = \angle BAD + \angle ABD$ (где $\angle ABD$ — это $\angle ABC$).

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то по определению $\angle BAD = \angle CAD$.

Теперь сравним выражения для углов $\angle ADB$ и $\angle ADC$. Мы знаем, что $\angle BAD = \angle CAD$ и $\angle ACB > \angle ABC$ (т.е. $\angle ACD > \angle ABD$). Следовательно, сумма $\angle CAD + \angle ACD$ будет больше суммы $\angle BAD + \angle ABD$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\angle ADB > \angle ADC$.

Ответ: Неравенство доказано.

Доказательство, что $BD > CD$

Отложим на стороне $AB$ отрезок $AE$, равный стороне $AC$. Так как по условию $AB > AC$, точка $E$ будет лежать между точками $A$ и $B$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ADC$. У них:

• $AE = AC$ (по построению).
• $AD$ — общая сторона.
• $\angle EAD = \angle CAD$ (так как $AD$ — биссектриса).

Следовательно, $\triangle ADE \cong \triangle ADC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны, в частности, $ED = CD$ и $\angle AED = \angle ACD$.

Теперь рассмотрим треугольник $BDE$. Чтобы доказать, что $BD > CD$, нам достаточно доказать, что $BD > ED$, поскольку мы уже установили, что $ED = CD$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Значит, для доказательства неравенства $BD > ED$ нам нужно доказать, что угол, лежащий против стороны $BD$ (это $\angle BED$), больше угла, лежащего против стороны $ED$ (это $\angle EBD$).

Угол $\angle EBD$ является частью угла $\angle ABC$, то есть $\angle EBD = \angle ABC$.

Угол $\angle BED$ смежный с углом $\angle AED$, значит, $\angle BED = 180^\circ - \angle AED$. Из равенства треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle ADC$ мы знаем, что $\angle AED = \angle ACD$. Таким образом, $\angle BED = 180^\circ - \angle ACD$.

Итак, нам нужно доказать, что $\angle BED > \angle EBD$, то есть $180^\circ - \angle ACD > \angle ABC$. Это неравенство равносильно $180^\circ > \angle ABC + \angle ACD$.

В исходном треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$. Отсюда $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC$.

Подставим это выражение в доказываемое неравенство: $180^\circ > 180^\circ - \angle BAC$. Упрощая, получаем $0 > -\angle BAC$, что равносильно $\angle BAC > 0$.

Так как $ABC$ является треугольником, его угол $\angle BAC$ строго положителен. Следовательно, неравенство $\angle BED > \angle EBD$ верно.

Поскольку в треугольнике $BDE$ угол $\angle BED$ больше угла $\angle EBD$, то противолежащая ему сторона $BD$ больше стороны $ED$. А так как $ED = CD$, то $BD > CD$.

Ответ: Неравенство доказано.