Номер 336, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 336, страница 93.

Условие.

336 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше ($m_a > \frac{a}{2}$), равна ($m_a = \frac{a}{2}$) или меньше ($m_a < \frac{a}{2}$) половины противоположной стороны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$, и из вершины $A$ к стороне $BC$ проведена медиана $AM$. Это означает, что $M$ — середина стороны $BC$, и, следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$. Нам нужно доказать связь между длиной медианы $AM$ и величиной угла $\angle BAC$.

Разобьем доказательство на три случая.

1. Медиана больше половины противоположной стороны ($AM > \frac{1}{2}BC$)

По условию $AM > \frac{1}{2}BC$. Так как $BM = \frac{1}{2}BC$, то получаем $AM > BM$. Аналогично, $AM > MC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как сторона $AM$ больше стороны $BM$, то угол, лежащий против $AM$ (то есть $\angle B$), больше угла, лежащего против $BM$ (то есть $\angle BAM$):

$\angle B > \angle BAM$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACM$. Так как сторона $AM$ больше стороны $MC$, то угол, лежащий против $AM$ (то есть $\angle C$), больше угла, лежащего против $MC$ (то есть $\angle CAM$):

$\angle C > \angle CAM$

Сложим полученные неравенства:

$\angle B + \angle C > \angle BAM + \angle CAM$

Так как $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM$, то неравенство принимает вид:

$\angle B + \angle C > \angle BAC$

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC$.

Подставим это в наше неравенство:

$180^\circ - \angle BAC > \angle BAC$

$180^\circ > 2\angle BAC$

$\angle BAC < 90^\circ$

Следовательно, угол $\angle BAC$ является острым.

Ответ: Угол является острым.

2. Медиана равна половине противоположной стороны ($AM = \frac{1}{2}BC$)

По условию $AM = \frac{1}{2}BC$. Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, мы имеем равенство $AM = BM = MC$. Это означает, что точка $M$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $A$, $B$ и $C$. Следовательно, $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Поскольку центр описанной окружности лежит на стороне треугольника ($BC$), эта сторона является диаметром окружности. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Угол $\angle BAC$ как раз опирается на диаметр $BC$.

Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$, то есть угол является прямым.

Ответ: Угол является прямым.

3. Медиана меньше половины противоположной стороны ($AM < \frac{1}{2}BC$)

По условию $AM < \frac{1}{2}BC$. Так как $BM = \frac{1}{2}BC$, то получаем $AM < BM$. Аналогично, $AM < MC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как сторона $AM$ меньше стороны $BM$, то угол, лежащий против $AM$ (то есть $\angle B$), меньше угла, лежащего против $BM$ (то есть $\angle BAM$):

$\angle B < \angle BAM$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACM$. Так как сторона $AM$ меньше стороны $MC$, то угол, лежащий против $AM$ (то есть $\angle C$), меньше угла, лежащего против $MC$ (то есть $\angle CAM$):

$\angle C < \angle CAM$

Сложим полученные неравенства:

$\angle B + \angle C < \angle BAM + \angle CAM$

Так как $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM$, то неравенство принимает вид:

$\angle B + \angle C < \angle BAC$

Известно, что $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC$. Подставим это в наше неравенство:

$180^\circ - \angle BAC < \angle BAC$

$180^\circ < 2\angle BAC$

$\angle BAC > 90^\circ$

Следовательно, угол $\angle BAC$ является тупым.

Ответ: Угол является тупым.