Номер 329, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 329, страница 92.

Условие.

329 Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Согласно условию задачи, у них соответственно равны: угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон. Без ограничения общности, пусть будут равны угол $B$, прилежащая к нему сторона $BC$ и сумма двух других сторон $AB+AC$. Таким образом, нам дано:

1. $ \angle B = \angle B_1 $
2. $ BC = B_1C_1 $
3. $ AB + AC = A_1B_1 + A_1C_1 $

Требуется доказать, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Для доказательства используем метод дополнительного построения.

1. В треугольнике $ \triangle ABC $ на луче $BA$ отложим отрезок $BD$, равный сумме сторон $AB$ и $AC$. Точка $A$ будет лежать между точками $B$ и $D$, так что $BD = AB + AD$. Из этого следует, что $AD = AC$. Соединим точки $D$ и $C$. В результате мы получили вспомогательный треугольник $ \triangle BDC $.

2. Аналогичное построение выполним для треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $. На луче $B_1A_1$ отложим отрезок $B_1D_1$, равный сумме сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$. Точка $A_1$ будет лежать между точками $B_1$ и $D_1$, так что $B_1D_1 = A_1B_1 + A_1D_1$, откуда следует, что $A_1D_1 = A_1C_1$. Соединим точки $D_1$ и $C_1$, получив треугольник $ \triangle B_1D_1C_1 $.

3. Теперь сравним построенные треугольники $ \triangle BDC $ и $ \triangle B_1D_1C_1 $.

• $ BC = B_1C_1 $ (по условию).
• $ BD = AB + AC $ (по построению). $ B_1D_1 = A_1B_1 + A_1C_1 $ (по построению). Так как по условию $ AB + AC = A_1B_1 + A_1C_1 $, то $ BD = B_1D_1 $.
• $ \angle DBC $ (то есть $ \angle B $) равен $ \angle D_1B_1C_1 $ (то есть $ \angle B_1 $) по условию.

Таким образом, треугольники $ \triangle BDC $ и $ \triangle B_1D_1C_1 $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $ \triangle BDC \cong \triangle B_1D_1C_1 $ следует равенство их соответствующих элементов:

• $ DC = D_1C_1 $
• $ \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 $
• $ \angle BCD = \angle B_1C_1D_1 $

5. Рассмотрим $ \triangle ADC $. По построению $ AD = AC $, следовательно, $ \triangle ADC $ — равнобедренный с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $ \angle ACD = \angle ADC $. Так как точка $A$ лежит на отрезке $BD$, то $ \angle ADC $ это тот же угол, что и $ \angle BDC $. Значит, $ \angle ACD = \angle BDC $.

6. Аналогично, рассмотрим $ \triangle A_1D_1C_1 $. По построению $ A_1D_1 = A_1C_1 $, значит, $ \triangle A_1D_1C_1 $ — равнобедренный с основанием $D_1C_1$. Следовательно, $ \angle A_1C_1D_1 = \angle A_1D_1C_1 $. Так как точка $A_1$ лежит на отрезке $B_1D_1$, то $ \angle A_1D_1C_1 = \angle B_1D_1C_1 $. Значит, $ \angle A_1C_1D_1 = \angle B_1D_1C_1 $.

7. Из шага 4 мы знаем, что $ \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 $. Из шагов 5 и 6 следует, что $ \angle ACD = \angle BDC $ и $ \angle A_1C_1D_1 = \angle B_1D_1C_1 $. Отсюда получаем, что $ \angle ACD = \angle A_1C_1D_1 $.

8. Теперь найдем угол $ \angle BCA $. Он равен разности углов $ \angle BCD $ и $ \angle ACD $. То есть, $ \angle BCA = \angle BCD - \angle ACD $. Аналогично, $ \angle B_1C_1A_1 = \angle B_1C_1D_1 - \angle A_1C_1D_1 $. Так как из шага 4 известно, что $ \angle BCD = \angle B_1C_1D_1 $, а из шага 7 — что $ \angle ACD = \angle A_1C_1D_1 $, то правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части: $ \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 $.

9. Наконец, сравним исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

• $ BC = B_1C_1 $ (по условию).
• $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).
• $ \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 $ (как доказано в шаге 8).

Следовательно, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.