Номер 330, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 330, страница 92.

Условие.

330 Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Да, такие треугольники могут быть неравными.

Это возможно, потому что условие задачи не уточняет взаимное расположение равных стороны и углов. Стандартные признаки равенства треугольников, такие как "по стороне и двум прилежащим к ней углам" (УСУ) или "по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащему углу" (по стороне и двум углам, AAS), требуют, чтобы равные элементы занимали одинаковое (соответственное) положение в обоих треугольниках. В данной задаче это не гарантируется.

Рассмотрим пример, доказывающий, что треугольники могут быть неравными. Пусть нам даны значения для одной стороны и двух углов: сторона длиной $l=10$, и углы $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 50^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол в любом таком треугольнике будет равен $\gamma = 180^\circ - (30^\circ + 50^\circ) = 100^\circ$.

Теперь на основе этих данных построим два разных треугольника.

1. Треугольник $ABC$

Пусть сторона $c = AB = 10$ является стороной, прилежащей к обоим углам: $\angle A = 30^\circ$ и $\angle B = 50^\circ$. В этом случае $\angle C = 100^\circ$. Это соответствует признаку равенства УСУ (угол-сторона-угол).

Применим теорему синусов для нахождения длин двух других сторон ($a$ и $b$):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 50^\circ} = \frac{10}{\sin 100^\circ}$

Отсюда:

$a = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 100^\circ} = \frac{10 \cdot 0.5}{\sin(180^\circ-80^\circ)} = \frac{5}{\sin 80^\circ}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 100^\circ} = \frac{10 \sin 50^\circ}{\sin 80^\circ}$

Таким образом, стороны треугольника $ABC$ равны $\frac{5}{\sin 80^\circ}$, $\frac{10 \sin 50^\circ}{\sin 80^\circ}$ и $10$.

2. Треугольник $A'B'C'$

Теперь построим треугольник, используя те же значения, но с другим расположением стороны. Пусть в треугольнике $A'B'C'$ углы $\angle A' = 30^\circ$ и $\angle B' = 50^\circ$, но известная сторона $a' = B'C' = 10$ (т.е. она противолежит углу $A'$). Третий угол $\angle C'$ также равен $100^\circ$. Это соответствует признаку равенства по стороне и двум углам (AAS).

Снова применим теорему синусов:

$\frac{a'}{\sin A'} = \frac{b'}{\sin B'} = \frac{c'}{\sin C'}$

$\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b'}{\sin 50^\circ} = \frac{c'}{\sin 100^\circ}$

Отсюда:

$b' = \frac{10 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \sin 50^\circ}{0.5} = 20 \sin 50^\circ$

$c' = \frac{10 \cdot \sin 100^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \sin 100^\circ}{0.5} = 20 \sin 100^\circ = 20 \sin 80^\circ$

Стороны треугольника $A'B'C'$ равны $10$, $20 \sin 50^\circ$ и $20 \sin 80^\circ$.

Сравнение треугольников

Сравним наборы длин сторон двух треугольников:

• $ABC$: $\{\frac{5}{\sin 80^\circ}, \frac{10 \sin 50^\circ}{\sin 80^\circ}, 10\}$
• $A'B'C'$: $\{10, 20 \sin 50^\circ, 20 \sin 80^\circ\}$

Очевидно, что эти наборы сторон различны. Например, самая длинная сторона в треугольнике $ABC$ равна $10$ (так как лежит напротив наибольшего угла $100^\circ$). В треугольнике $A'B'C'$ самая длинная сторона $c' = 20 \sin 80^\circ \approx 20 \cdot 0.985 = 19.7$, что явно больше $10$.

Поскольку у треугольников разные длины сторон, они не являются равными, хотя и построены на основе одного и того же набора из одной стороны и двух углов.

Ответ: Да, могут.