Номер 324, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 324, страница 92.

Условие.

324 Пусть $\angle hk$ — меньший из двух смежных углов $hk$ и $hl$. Докажите, что

$\angle hk = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$,

$\angle hl = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, углы $\angle hk$ и $\angle hl$ являются смежными. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма равна $180^\circ$.

$\angle hk + \angle hl = 180^\circ$

Также дано, что $\angle hk$ — меньший из двух углов, то есть $\angle hk \le \angle hl$.

Докажем последовательно оба равенства, преобразуя их правые части.

Доказательство, что $\angle hk = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$

Рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$.

Из свойства смежных углов ($\angle hk + \angle hl = 180^\circ$) выразим угол $\angle hl$:

$\angle hl = 180^\circ - \angle hk$

Подставим это выражение в правую часть равенства:

$90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = 90^\circ - \frac{1}{2}((180^\circ - \angle hk) - \angle hk)$

Упростим выражение в скобках:

$90^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - 2\angle hk)$

Теперь раскроем скобки, умножив $\frac{1}{2}$ на каждый член внутри них:

$90^\circ - (\frac{1}{2} \cdot 180^\circ - \frac{1}{2} \cdot 2\angle hk) = 90^\circ - (90^\circ - \angle hk) = 90^\circ - 90^\circ + \angle hk = \angle hk$

Мы получили, что правая часть равенства тождественно равна его левой части ($\angle hk$). Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $\angle hk = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$ доказано.

Доказательство, что $\angle hl = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$

Аналогично, рассмотрим правую часть второго равенства: $90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$.

Из свойства смежных углов ($\angle hk + \angle hl = 180^\circ$) выразим угол $\angle hk$:

$\angle hk = 180^\circ - \angle hl$

Подставим это выражение в правую часть равенства:

$90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - (180^\circ - \angle hl))$

Упростим выражение в скобках:

$90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - 180^\circ + \angle hl) = 90^\circ + \frac{1}{2}(2\angle hl - 180^\circ)$

Раскроем скобки:

$90^\circ + (\frac{1}{2} \cdot 2\angle hl - \frac{1}{2} \cdot 180^\circ) = 90^\circ + (\angle hl - 90^\circ) = 90^\circ + \angle hl - 90^\circ = \angle hl$

Мы получили, что правая часть равенства тождественно равна его левой части ($\angle hl$). Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $\angle hl = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk)$ доказано.