Номер 319, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 319, страница 91.

Условие.

319* Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения треугольника по заданным углу $\alpha$, высоте $h_a$ и биссектрисе $l_a$, проведенным из одной вершины, решение можно разбить на несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $A$ — вершина, из которой проведены высота $AH$ и биссектриса $AL$. По условию, $\angle BAC = \alpha$, $AH = h_a$ и $AL = l_a$. Точки $H$ (основание высоты) и $L$ (точка пересечения биссектрисы с противолежащей стороной) лежат на прямой, содержащей сторону $BC$.

Поскольку $AH$ — высота, то $AH \perp BC$, и следовательно, треугольник $AHL$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике нам известны катет $AH = h_a$ и гипотенуза $AL = l_a$. Это означает, что мы можем построить треугольник $AHL$. Построив его, мы определим положение вершины $A$, а также прямой $m$, на которой лежит сторона $BC$ (эта прямая проходит через точки $H$ и $L$).

Так как $AL$ является биссектрисой угла $BAC$, то она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL = \alpha/2$. Таким образом, стороны $AB$ и $AC$ можно рассматривать как лучи, исходящие из точки $A$ и образующие с известным лучом $AL$ углы, равные $\alpha/2$. Вершины $B$ и $C$ будут точками пересечения этих лучей с построенной прямой $m$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHL$ по катету $h_a$ и гипотенузе $l_a$. Для этого проведем произвольную прямую $m$ и выберем на ней точку $H$. Затем через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную $m$. На прямой $p$ отложим отрезок $AH$, равный $h_a$. Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом $l_a$. Точку пересечения этой окружности с прямой $m$ обозначим $L$.

2. Построим стороны треугольника $AB$ и $AC$. Сначала построим угол, равный $\alpha$, и разделим его пополам с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол $\alpha/2$. Затем от луча $AL$ в одну полуплоскость отложим угол, равный $\alpha/2$, получив луч, на котором будет лежать сторона $AB$. В другую полуплоскость отложим такой же угол, получив луч, на котором будет лежать сторона $AC$.

3. Найдем вершины $B$ и $C$. Точка пересечения первого луча с прямой $m$ является вершиной $B$. Точка пересечения второго луча с прямой $m$ является вершиной $C$.

4. Соединив точки $A, B, C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ высота из вершины $A$ равна $AH$, так как по построению $AH \perp BC$ и ее длина равна $h_a$. Отрезок $AL$ соединяет вершину $A$ с точкой $L$ на стороне $BC$, и его длина по построению равна $l_a$. Угол $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle BAL$ и $\angle CAL$. По построению, $\angle BAL = \alpha/2$ и $\angle CAL = \alpha/2$, следовательно, $\angle BAC = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$. Так как $\angle BAL = \angle CAL$, отрезок $AL$ является биссектрисой угла $A$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение при выполнении двух условий. Во-первых, для построения прямоугольного треугольника $AHL$ необходимо, чтобы гипотенуза была не меньше катета: $l_a \ge h_a$. Если $l_a < h_a$, решения нет.

Во-вторых, для того чтобы лучи, образующие стороны $AB$ и $AC$, пересекали прямую основания $m$ и образовывали треугольник, в котором $AL$ является биссектрисой внутреннего угла, должно выполняться еще одно условие. Пусть $\angle HAL = \gamma$. Из треугольника $AHL$ имеем $\cos \gamma = \frac{h_a}{l_a}$. Угол между стороной $AC$ (или $AB$) и высотой $AH$ равен $\gamma + \alpha/2$. Этот угол должен быть меньше $90^\circ$. Таким образом, второе условие: $\arccos(\frac{h_a}{l_a}) + \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. Если это условие не выполнено, то либо одна из сторон будет параллельна основанию, либо $AL$ окажется биссектрисой внешнего угла. Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при одновременном выполнении условий $l_a \ge h_a$ и $\arccos(\frac{h_a}{l_a}) + \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$.

Ответ: Построение треугольника осуществляется в три основных этапа: 1) строится вспомогательный прямоугольный треугольник $AHL$ по катету $h_a$ и гипотенузе $l_a$, что определяет вершину $A$ и прямую, содержащую основание $BC$; 2) от построенного луча $AL$ в разные стороны откладываются углы, равные половине данного угла $\alpha$, что определяет прямые, содержащие стороны $AB$ и $AC$; 3) находятся точки пересечения этих прямых с прямой основания, что дает вершины $B$ и $C$.