Номер 325, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 325, страница 92.

Условие.

325 Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 147). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.

Рис. 147

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пять прямых, пересекаясь в одной точке, образуют 10 углов. Эти углы составляют 5 пар вертикальных углов. Углы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4 и 5, представляют собой набор из пяти углов, каждый из которых имеет равный ему вертикальный угол.

Сумма всех углов вокруг точки пересечения равна полному углу, то есть $360°$. Обозначим искомую сумму углов как $S = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5$.

Каждый из этих углов имеет вертикальный ему угол. Сумма всех 10 углов вокруг точки будет состоять из суммы наших пяти углов и суммы пяти вертикальных им углов. Поскольку вертикальные углы равны, сумма пяти вертикальных углов также будет равна $S$.

Таким образом, сумма всех углов вокруг точки равна $S + S$, или $2S$.

Мы можем записать уравнение:

$2 \times (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5) = 360°$

Отсюда находим искомую сумму:

$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = \frac{360°}{2} = 180°$

Ответ: $180°$