Номер 327, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 327, страница 92.

Условие.

327. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что не все шесть данных точек лежат на одной прямой.

Пусть $S$ — это множество данных шести точек. Рассмотрим множество всех прямых, проходящих через пары точек из $S$. Так как мы предположили, что не все точки коллинеарны, то существуют точки из $S$, которые не лежат на некоторых из этих прямых.

Рассмотрим все возможные пары $(P, l)$, где $P$ — одна из данных точек, а $l$ — прямая, проходящая через две другие данные точки, причём $P$ не лежит на $l$. Для каждой такой пары существует ненулевое расстояние от точки $P$ до прямой $l$. Так как количество точек и прямых конечно, то существует конечное число таких расстояний. Выберем из них наименьшее. Обозначим это минимальное положительное расстояние как $d$, и пусть оно соответствует паре $(P_0, l_0)$, где $P_0 \in S$, а $l_0$ — прямая, проходящая через как минимум две точки из $S$.

Согласно условию задачи, любая прямая, проходящая через две точки из $S$, содержит по крайней мере ещё одну точку из $S$. Следовательно, на прямой $l_0$ лежит не менее трёх точек из множества $S$. Обозначим три из этих точек как $A$, $B$ и $C$.

Опустим из точки $P_0$ перпендикуляр $P_0H$ на прямую $l_0$. По нашему выбору, длина этого перпендикуляра равна $d$, то есть $|P_0H| = d$. Точка $H$ лежит на прямой $l_0$.

Точки $A, B, C$ лежат на прямой $l_0$. По крайней мере две из этих трёх точек должны лежать по одну сторону от точки $H$ (или одна из них может совпадать с $H$). Без ограничения общности, пусть точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от $H$, и пусть $B$ находится между $H$ и $C$ (случай, когда $B$ совпадает с $H$, также включается в это рассмотрение). Таким образом, $|HC| > |BC|$.

Теперь рассмотрим новую прямую $l_1$, проходящую через точки $P_0$ и $C$. Точка $B$ не может лежать на этой прямой, так как $B$ и $C$ лежат на $l_0$, а $P_0$ — нет. Найдём расстояние от точки $B$ до прямой $l_1$.

Пусть $h$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $l_1$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle P_0HC$ и треугольник, образованный отрезком $BC$ и перпендикуляром из $B$ на $P_0C$. Эти треугольники подобны по общему острому углу при вершине $C$. Из подобия следует:

$$ \frac{h}{d} = \frac{|BC|}{|P_0C|} $$

Отсюда $h = d \cdot \frac{|BC|}{|P_0C|}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle P_0HC$ гипотенуза $P_0C$ длиннее катета $HC$: $|P_0C| > |HC|$. Так как точка $B$ лежит между $H$ и $C$ (или $B=H$), то $|HC| \ge |BC|$. Следовательно, $|P_0C| > |BC|$, что означает, что дробь $\frac{|BC|}{|P_0C|} < 1$.

Таким образом, мы получаем, что $h < d$.

Мы нашли новую пару (точка $B$, прямая $l_1$), расстояние между которыми $h$ является положительным, но строго меньше $d$. Это противоречит нашему первоначальному выбору $d$ как минимального положительного расстояния.

Следовательно, исходное предположение о том, что не все точки лежат на одной прямой, неверно. Значит, все шесть точек лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.