Номер 331, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 331, страница 92.

Условие.

331. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Да, такие треугольники могут быть неравными. Это возможно в случае, когда равный угол не является углом, заключенным между двумя равными сторонами.

Рассмотрим два случая расположения равного угла относительно равных сторон:

1. Угол находится между двумя сторонами (признак СУС - сторона, угол, сторона).

Если в двух треугольниках две стороны и угол между ними соответственно равны, то такие треугольники всегда равны. Это первый признак равенства треугольников. В этом случае они не могут быть неравными.

2. Угол не находится между двумя сторонами (случай ССУ - сторона, сторона, угол).

В этом случае треугольники могут быть как равными, так и неравными. Неравенство возникает, когда данный угол лежит напротив меньшей из двух данных сторон.

Приведем пример, доказывающий возможность существования двух неравных треугольников с двумя равными сторонами и равным углом.

Пусть у нас есть два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Зададим следующие элементы для первого треугольника $\triangle ABC$:

• Сторона $AB = c$
• Сторона $BC = a$
• Угол $\angle A = \alpha$

И для второго треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ зададим такие же элементы:

• Сторона $A_1B_1 = c$
• Сторона $B_1C_1 = a$
• Угол $\angle A_1 = \alpha$

Пусть $c = 10$, $a = 6$, и $\alpha = 30^\circ$. Заметим, что угол $\alpha$ лежит напротив стороны $a$, и $a < c$.

Используем теорему синусов для треугольника $\triangle ABC$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin C}$

Подставим наши значения:

$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin C}$

$\sin C = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{6} = \frac{10 \cdot 0.5}{6} = \frac{5}{6}$

Уравнение $\sin C = \frac{5}{6}$ имеет два решения для угла $C$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$:

1. $C_1 = \arcsin(\frac{5}{6}) \approx 56.44^\circ$. Это острый угол. Тогда третий угол $B_1 = 180^\circ - 30^\circ - 56.44^\circ = 93.56^\circ$. Такой треугольник существует.

2. $C_2 = 180^\circ - \arcsin(\frac{5}{6}) \approx 180^\circ - 56.44^\circ = 123.56^\circ$. Это тупой угол. Тогда третий угол $B_2 = 180^\circ - 30^\circ - 123.56^\circ = 26.44^\circ$. Такой треугольник также существует.

Таким образом, мы можем построить два различных треугольника:

• Один треугольник со сторонами 10 и 6 и углами $30^\circ$, $93.56^\circ$, $56.44^\circ$.
• Второй треугольник со сторонами 10 и 6 и углами $30^\circ$, $26.44^\circ$, $123.56^\circ$.

Оба этих треугольника имеют две стороны, равные 10 и 6, и угол, равный $30^\circ$ (который лежит напротив стороны 6). Однако, так как другие углы и, следовательно, третья сторона у них различны, эти треугольники не равны между собой.

Ответ: Да, могут. Это происходит в том случае, если равный угол не заключен между двумя равными сторонами, а лежит напротив меньшей из этих двух сторон.