Номер 335, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 335, страница 93.

Условие.

335 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:

а) сумма любых двух углов больше $90^\circ$;

б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Известно, что сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$.

По условию задачи, сумма любых двух углов больше $90^{\circ}$. Запишем это в виде системы неравенств:
$\alpha + \beta > 90^{\circ}$
$\alpha + \gamma > 90^{\circ}$
$\beta + \gamma > 90^{\circ}$

Рассмотрим любое из этих неравенств, например, $\alpha + \beta > 90^{\circ}$. Из формулы суммы углов выразим третий угол: $\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta)$. Так как по условию $\alpha + \beta > 90^{\circ}$, то $-(\alpha + \beta) < -90^{\circ}$. Подставляя это в выражение для $\gamma$, получаем: $\gamma < 180^{\circ} - 90^{\circ}$, следовательно, $\gamma < 90^{\circ}$.

Аналогичные рассуждения для двух других пар углов показывают, что $\alpha < 90^{\circ}$ и $\beta < 90^{\circ}$.

Поскольку все три угла треугольника меньше $90^{\circ}$, он является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б)

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Их сумма $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$.

По условию, каждый угол меньше суммы двух других. Это можно записать в виде системы неравенств:
$\alpha < \beta + \gamma$
$\beta < \alpha + \gamma$
$\gamma < \alpha + \beta$

Рассмотрим первое неравенство: $\alpha < \beta + \gamma$. Из формулы суммы углов треугольника известно, что $\beta + \gamma = 180^{\circ} - \alpha$. Подставим это выражение в неравенство: $\alpha < 180^{\circ} - \alpha$.

Решим полученное неравенство: $2\alpha < 180^{\circ}$ $\alpha < 90^{\circ}$

Аналогично, из двух других неравенств ($\beta < \alpha + \gamma$ и $\gamma < \alpha + \beta$) следует, что $\beta < 90^{\circ}$ и $\gamma < 90^{\circ}$.

Так как все три угла треугольника меньше $90^{\circ}$, то есть являются острыми, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.