Номер 339, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 339, страница 93.

Условие.

339. Отрезок $BB_1$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $BA > B_1A$ и $BC > B_1C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся свойством о соотношении сторон и углов в треугольнике, которое гласит: против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство неравенства BA > B₁A

Рассмотрим треугольник $ABB₁$. Чтобы доказать, что сторона $BA$ больше стороны $B₁A$, нам нужно доказать, что угол, лежащий против стороны $BA$, больше угла, лежащего против стороны $B₁A$. То есть, нужно доказать, что $∠BB₁A > ∠ABB₁$.

Угол $∠BB₁A$ является внешним углом для треугольника $CBB₁$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$∠BB₁A = ∠B₁CB + ∠CBB₁$, или $∠BB₁A = ∠C + ∠CBB₁$.

По условию, $BB₁$ — биссектриса угла $∠B$, следовательно, $∠ABB₁ = ∠CBB₁$.

Заменим в предыдущем равенстве $∠CBB₁$ на $∠ABB₁$:

$∠BB₁A = ∠C + ∠ABB₁$.

Так как $∠C$ — это угол треугольника, его градусная мера больше нуля ($∠C > 0°$). Отсюда следует, что $∠BB₁A > ∠ABB₁$.

В треугольнике $ABB₁$ сторона $BA$ лежит против угла $∠BB₁A$, а сторона $B₁A$ лежит против угла $∠ABB₁$. Поскольку $∠BB₁A > ∠ABB₁$, то и соответствующая сторона $BA$ больше стороны $B₁A$.

Ответ: Неравенство $BA > B₁A$ доказано.

Доказательство неравенства BC > B₁C

Рассмотрим треугольник $CBB₁$. Аналогично, чтобы доказать, что $BC > B₁C$, нужно доказать, что угол, лежащий против стороны $BC$, больше угла, лежащего против стороны $B₁C$. То есть, нужно доказать, что $∠BB₁C > ∠CBB₁$.

Угол $∠BB₁C$ является внешним углом для треугольника $ABB₁$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$∠BB₁C = ∠B₁AB + ∠ABB₁$, или $∠BB₁C = ∠A + ∠ABB₁$.

Так как $BB₁$ — биссектриса, $∠ABB₁ = ∠CBB₁$.

Подставим это в равенство для внешнего угла:

$∠BB₁C = ∠A + ∠CBB₁$.

Поскольку $∠A$ — это угол треугольника, его градусная мера больше нуля ($∠A > 0°$). Отсюда следует, что $∠BB₁C > ∠CBB₁$.

В треугольнике $CBB₁$ сторона $BC$ лежит против угла $∠BB₁C$, а сторона $B₁C$ лежит против угла $∠CBB₁$. Поскольку $∠BB₁C > ∠CBB₁$, то и соответствующая сторона $BC$ больше стороны $B₁C$.

Ответ: Неравенство $BC > B₁C$ доказано.