Номер 337, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 337, страница 93.

Условие.

337 Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята такая точка M, что $\angle MBC = 30^\circ$, $\angle MCB = 10^\circ$. Найдите угол AMC, если $\angle BAC = 80^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для начала определим углы при основании в равнобедренном треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, углы при основании $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны.

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$.

Теперь найдем углы, которые стороны треугольника образуют с отрезками $BM$ и $CM$:

$\angle ABM = \angle ABC - \angle MBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.

$\angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MBC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle BMC$:

$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Для нахождения угла $\angle AMC$ воспользуемся теоремой синусов. Применим ее к треугольникам $ABC$ и $MBC$, чтобы выразить стороны $AC$ и $MC$ через общую сторону $BC$.

В треугольнике $ABC$ по теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \implies \frac{AC}{\sin(50^\circ)} = \frac{BC}{\sin(80^\circ)}$

Отсюда $AC = BC \cdot \frac{\sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$.

В треугольнике $MBC$ по теореме синусов:

$\frac{MC}{\sin(\angle MBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} \implies \frac{MC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(140^\circ)}$

Отсюда $MC = BC \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(140^\circ)}$.

Теперь сравним выражения для $AC$ и $MC$. Для этого преобразуем тригонометрические функции:

$\sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ)$

$\sin(50^\circ) = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos(40^\circ)$

$\sin(80^\circ) = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)$ (формула синуса двойного угла)

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в выражения для сторон:

$AC = BC \cdot \frac{\cos(40^\circ)}{2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)} = BC \cdot \frac{1}{2\sin(40^\circ)}$

$MC = BC \cdot \frac{1/2}{\sin(40^\circ)} = BC \cdot \frac{1}{2\sin(40^\circ)}$

Из полученных выражений следует, что $AC = MC$.

Так как $AC = MC$, треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MAC = \angle AMC$. Угол при вершине $C$ в этом треугольнике равен $\angle ACM = 40^\circ$.

Сумма углов треугольника $AMC$ равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle MAC + \angle AMC + \angle ACM = 180^\circ$

$2 \cdot \angle AMC + 40^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle AMC = 140^\circ$

$\angle AMC = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.