Номер 332, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 332, страница 93.

Условие.

332. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $OC = OD$, если $AC = AO = BO = BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$, которые образовались в результате пересечения отрезков $AB$ и $CD$ в точке $O$.

Дано:
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.
$AC = AO = BO = BD$.

Доказать:
$OC = OD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle AOC$. По условию $AC = AO$. Это означает, что $\triangle AOC$ является равнобедренным с основанием $OC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ACO = \angle AOC$.

2. Рассмотрим $\triangle BOD$. По условию $BD = BO$. Это означает, что $\triangle BOD$ является равнобедренным с основанием $OD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BDO = \angle BOD$.

3. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

4. Из равенств, полученных в пунктах 1, 2 и 3, мы можем составить цепочку равенств: $\angle ACO = \angle AOC = \angle BOD = \angle BDO$.

5. Теперь докажем равенство треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. Для этого найдем третьи углы этих треугольников. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle AOC$: $\angle CAO = 180^\circ - (\angle AOC + \angle ACO)$.
Для $\triangle BOD$: $\angle DBO = 180^\circ - (\angle BOD + \angle BDO)$.
Так как из пункта 4 мы знаем, что $\angle AOC = \angle BOD$ и $\angle ACO = \angle BDO$, то и третьи углы этих треугольников равны: $\angle CAO = \angle DBO$.

6. Сравним треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

• $\angle CAO = \angle DBO$ (доказано в п. 5);
• $AO = BO$ (дано по условию);
• $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).

Сторона $AO$ в $\triangle AOC$ заключена между углами $\angle CAO$ и $\angle AOC$. Сторона $BO$ в $\triangle BOD$ заключена между углами $\angle DBO$ и $\angle BOD$. Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $OC$ в $\triangle AOC$ лежит напротив угла $\angle CAO$. Сторона $OD$ в $\triangle BOD$ лежит напротив равного ему угла $\angle DBO$. Следовательно, стороны $OC$ и $OD$ являются соответствующими, и $OC = OD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $OC = OD$ доказано на основе признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (ASA).