Номер 333, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 333, страница 93.

Условие.

333 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $O$. Найдите угол $BOC$, если угол $A$ равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим внутренние углы треугольника ABC при вершинах A, B и C как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. По условию задачи, $\angle A = \alpha$. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°, поэтому для треугольника ABC справедливо равенство:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$
Отсюда мы можем выразить сумму углов $\angle B$ и $\angle C$:
$\angle B + \angle C = 180° - \angle A = 180° - \alpha$.

Внешний угол при вершине B является смежным с внутренним углом $\angle B$, следовательно, его величина равна $180° - \angle B$. Прямая BO является биссектрисой этого внешнего угла, поэтому угол $\angle OBC$, который является одним из углов треугольника BOC, равен половине величины внешнего угла при вершине B:
$\angle OBC = \frac{180° - \angle B}{2} = 90° - \frac{\angle B}{2}$.

Аналогично, внешний угол при вершине C равен $180° - \angle C$. Прямая CO — биссектриса этого угла, поэтому угол $\angle OCB$ равен:
$\angle OCB = \frac{180° - \angle C}{2} = 90° - \frac{\angle C}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник BOC. Сумма его углов равна 180°:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180°$.
Подставим в это уравнение найденные выражения для углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$:
$\angle BOC + (90° - \frac{\angle B}{2}) + (90° - \frac{\angle C}{2}) = 180°$.
Упростим полученное выражение:
$\angle BOC + 180° - (\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}) = 180°$
$\angle BOC + 180° - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180°$.
Вычитая 180° из обеих частей, получаем:
$\angle BOC = \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Ранее мы установили, что $\angle B + \angle C = 180° - \alpha$. Подставим это значение в формулу для $\angle BOC$:
$\angle BOC = \frac{180° - \alpha}{2} = 90° - \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $90° - \frac{\alpha}{2}$.