Номер 321, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 321, страница 91.

Условие.

321* Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. На стороне $AB$ постройте точку $M$, находящуюся на расстоянии $AM$ от прямой $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $M$ — искомая точка на стороне $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($ \angle A = 90^\circ $). По условию задачи, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $AM$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на прямую $BC$ (точка $H$ лежит на $BC$). Тогда условие задачи можно записать в виде равенства: $MH = AM$.

Рассмотрим расстояния от точки $M$ до сторон угла $C$. Расстояние от $M$ до стороны $BC$ по построению равно $MH$. Поскольку $ \angle A = 90^\circ $, то сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AC$. Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, отрезок $AM$ является перпендикуляром от точки $M$ к прямой $AC$. Таким образом, расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $AM$.

Следовательно, условие задачи $MH = AM$ означает, что точка $M$ равноудалена от прямых, содержащих стороны угла $C$ (то есть от прямых $AC$ и $BC$).

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Поскольку точка $M$ должна лежать на стороне $AB$ и, следовательно, внутри треугольника $ABC$, она должна принадлежать биссектрисе внутреннего угла $C$.

Итак, искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям:
1. Принадлежать стороне $AB$.
2. Принадлежать биссектрисе угла $C$.

Отсюда следует, что точка $M$ является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ и стороны $AB$.

Построение:

1. Строим биссектрису угла $C$ треугольника $ABC$. Для этого циркулем проводим дугу с центром в вершине $C$, которая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в двух точках. Затем из этих двух точек проводим две дуги одинакового радиуса до их взаимного пересечения внутри угла. Луч, соединяющий вершину $C$ с точкой пересечения дуг, является биссектрисой угла $C$.

2. Продолжаем построенную биссектрису до пересечения со стороной $AB$. Точка пересечения и есть искомая точка $M$.

Поскольку в любом треугольнике биссектриса внутреннего угла пересекает противолежащую сторону, такое построение всегда возможно и искомая точка $M$ единственна.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $AB$.