Номер 317, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 317, страница 91.

Условие.

317 Дан треугольник $ABC$. Постройте отрезок $DE$, параллельный прямой $AC$, так, чтобы точки $D$ и $E$ лежали на сторонах $AB$ и $BC$ и $DE = AD + CE$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Анализ

Предположим, что искомый отрезок $DE$ построен. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, точка $E$ — на стороне $BC$, отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$, и выполняется условие $DE = AD + CE$.

На отрезке $DE$ выберем такую точку $I$, что $DI = AD$. Тогда из условия $DE = AD + CE$ следует, что оставшаяся часть отрезка, $IE$, должна быть равна $CE$. Таким образом, $DE = DI + IE = AD + CE$.

Рассмотрим треугольник $ADI$. По нашему предположению, $AD = DI$, следовательно, треугольник $ADI$ является равнобедренным с основанием $AI$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle DAI = \angle DIA$.

Поскольку по условию задачи $DE \parallel AC$, углы $\angle DIA$ и $\angle IAC$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $DE$, $AC$ и секущей $AI$. Следовательно, $\angle DIA = \angle IAC$.

Из равенств $\angle DAI = \angle DIA$ и $\angle DIA = \angle IAC$ следует, что $\angle DAI = \angle IAC$. Это означает, что луч $AI$ является биссектрисой угла $A$ (угла $BAC$).

Аналогично рассмотрим треугольник $CEI$. По нашему предположению, $CE = IE$, значит, треугольник $CEI$ является равнобедренным с основанием $CI$. Углы при основании равны: $\angle ECI = \angle EIC$.

Так как $DE \parallel AC$, углы $\angle EIC$ и $\angle ICA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $DE$, $AC$ и секущей $CI$. Следовательно, $\angle EIC = \angle ICA$.

Из равенств $\angle ECI = \angle EIC$ и $\angle EIC = \angle ICA$ следует, что $\angle ECI = \angle ICA$. Это означает, что луч $CI$ является биссектрисой угла $C$ (угла $BCA$).

Таким образом, точка $I$ должна быть точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$. Эта точка является центром вписанной окружности треугольника (инцентром).

Вывод из анализа: искомый отрезок $DE$ должен проходить через инцентр треугольника $ABC$. Это позволяет нам сформулировать алгоритм построения.

Построение

1. Построить биссектрису угла $A$ треугольника $ABC$.
2. Построить биссектрису угла $C$ треугольника $ABC$.
3. Обозначить точку пересечения этих биссектрис буквой $I$.
4. Через точку $I$ провести прямую, параллельную стороне $AC$.
5. Обозначить точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $BC$ как $D$ и $E$ соответственно.

Отрезок $DE$ является искомым.

Доказательство

Необходимо доказать, что построенный отрезок $DE$ удовлетворяет всем условиям задачи.

По построению, точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$, и прямая $DE$ параллельна $AC$. Остается доказать, что $DE = AD + CE$.

Рассмотрим треугольник $ADI$.

• По построению, $AI$ является биссектрисой угла $A$, поэтому $\angle DAI = \angle IAC$.
• По построению, $DE \parallel AC$. Углы $\angle DIA$ и $\angle IAC$ являются накрест лежащими при секущей $AI$, следовательно, $\angle DIA = \angle IAC$.
• Из этого следует, что $\angle DAI = \angle DIA$.
• Таким образом, треугольник $ADI$ является равнобедренным с основанием $AI$, а значит, его боковые стороны равны: $AD = DI$.

Рассмотрим треугольник $CEI$.

• По построению, $CI$ является биссектрисой угла $C$, поэтому $\angle ECI = \angle ICA$.
• По построению, $DE \parallel AC$. Углы $\angle EIC$ и $\angle ICA$ являются накрест лежащими при секущей $CI$, следовательно, $\angle EIC = \angle ICA$.
• Из этого следует, что $\angle ECI = \angle EIC$.
• Таким образом, треугольник $CEI$ является равнобедренным с основанием $CI$, а значит, его боковые стороны равны: $CE = EI$.

Точка $I$ лежит на отрезке $DE$, поэтому его длина равна сумме длин составляющих его отрезков: $DE = DI + IE$. Подставим в это равенство найденные соотношения $DI = AD$ и $IE = CE$: $DE = AD + CE$.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Ответ: Для построения искомого отрезка $DE$ необходимо найти точку $I$ пересечения биссектрис углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$, а затем через точку $I$ провести прямую, параллельную стороне $AC$. Точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $BC$ будут соответственно точками $D$ и $E$.