Номер 311, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 311, страница 90.

Условие.

311 Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две пересекающиеся прямые, $a$ и $b$, и пусть $O$ — точка их пересечения. Эти прямые делят плоскость на четыре угла.

Рассмотрим произвольную точку $M$, которая равноудалена от прямых $a$ и $b$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ на прямую $a$ (где $P$ лежит на $a$) и $MQ$ на прямую $b$ (где $Q$ лежит на $b$).

По условию задачи, $MP = MQ$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$. В этих треугольниках:

• $\angle OPM = \angle OQM = 90^\circ$ (по построению перпендикуляров).
• Сторона $OM$ является общей гипотенузой.
• Катеты $MP$ и $MQ$ равны по условию ($MP = MQ$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в том числе и углов: $\angle POM = \angle QOM$.

Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle POQ$, образованного лучами прямых $a$ и $b$. Таким образом, любая точка, равноудаленная от прямых $a$ и $b$, лежит на биссектрисе одного из углов, образованных этими прямыми.

Верно и обратное: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми $a$ и $b$, равноудалена от этих прямых.

Поскольку две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов, то искомое множество точек будет состоять из биссектрис всех четырех углов. Биссектрисы пары вертикальных углов являются продолжением друг друга и образуют одну прямую. Биссектрисы пары смежных углов взаимно перпендикулярны.

Таким образом, искомое множество точек — это две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения исходных прямых.

Ответ: Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, представляет собой пару взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.