Номер 307, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 307, страница 90.

Условие.

307 В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, а значит $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Таким образом, высота $CH$ делит исходный треугольник на два других прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.

Обозначим острые углы исходного треугольника $ABC$ как $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, или $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$. Отсюда получаем важное соотношение: $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Теперь докажем, что углы в образовавшихся треугольниках $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$ равны углам исходного треугольника $\triangle ABC$.

Сравнение углов $\triangle ABC$ и $\triangle ACH$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$.
1. Угол $\angle A$ является общим для треугольников $ABC$ и $ACH$, следовательно, $\angle CAH = \angle A = \alpha$.
2. Угол $\angle AHC$ является прямым, так как $CH$ — высота. Значит, $\angle AHC = 90^\circ$.
3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для $\triangle ACH$ имеем: $\angle ACH + \angle CAH = 90^\circ$. Отсюда $\angle ACH = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - \alpha$.
Поскольку ранее мы установили, что $\beta = 90^\circ - \alpha$, то $\angle ACH = \beta$.
Таким образом, углы треугольника $ACH$ равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$, то есть они равны углам треугольника $ABC$.

Сравнение углов $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$.
1. Угол $\angle B$ является общим для треугольников $ABC$ и $CBH$, следовательно, $\angle CBH = \angle B = \beta$.
2. Угол $\angle CHB$ является прямым, так как $CH$ — высота. Значит, $\angle CHB = 90^\circ$.
3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $CBH$ равна $90^\circ$: $\angle BCH + \angle CBH = 90^\circ$. Отсюда $\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - \beta$.
Поскольку ранее мы установили, что $\alpha = 90^\circ - \beta$, то $\angle BCH = \alpha$.
Таким образом, углы треугольника $CBH$ равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$, то есть они также равны углам треугольника $ABC$.

Мы доказали, что все три треугольника — исходный $\triangle ABC$ и образовавшиеся $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$ — имеют одинаковый набор углов, равных $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы. Углы каждого из трех треугольников равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$, где $\alpha$ и $\beta$ — острые углы исходного прямоугольного треугольника.