Номер 313, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 313, страница 90.

Условие.

313* □ Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть искомый треугольник — это $ABC$, в котором даны длины двух сторон $AC = b$, $BC = a$ и длина медианы $CM = m_c$, проведенной к третьей стороне $AB$.

Анализ

Проведем анализ задачи, чтобы найти способ построения. Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ADBC$, для этого продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину, так что $CM = MD$. Соединим точку $D$ с точками $A$ и $B$.

В полученном четырехугольнике $ADBC$ диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина стороны $AB$ ($AM=MB$). По нашему построению, $M$ — середина отрезка $CD$ ($CM=MD$). Так как диагонали четырехугольника $ADBC$ точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма — равенство противоположных сторон. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Длины всех его сторон нам известны:

• $AC = b$ (дано)
• $AD = a$ (по свойству параллелограмма)
• $CD = CM + MD = m_c + m_c = 2m_c$

Построить треугольник по трем сторонам — стандартная задача. Построив треугольник $ACD$, мы сможем найти искомую вершину $B$. Вершина $B$ симметрична вершине $A$ относительно точки $M$, которая является серединой стороны $CD$. Таким образом, задача сведена к построению вспомогательного треугольника $ACD$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CD$ длиной, равной удвоенной длине медианы, то есть $2m_c$. Отмечаем на нем середину — точку $M$.
2. Строим треугольник $ACD$ по трем сторонам: $AC = b$, $AD = a$, $CD = 2m_c$.
   • Из центра в точке $C$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
   • Из центра в точке $D$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
   • Одну из точек пересечения этих дуг обозначаем как $A$.
3. Соединяем точку $A$ с точками $C$ и $D$. Треугольник $ACD$ построен.
4. Для нахождения вершины $B$ искомого треугольника $ABC$ проводим луч $AM$.
5. На этом луче откладываем от точки $M$ отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$.
6. Соединяем точки $B$ с $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $b$.

По построению, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, отрезок $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Длина отрезка $CM$ по построению равна $m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ($AM = MB$ и $CM = MD$ по построению). Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм. Отсюда следует, что $BC = AD$. Так как при построении треугольника $ACD$ мы отложили $AD = a$, то и $BC = a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи: две его стороны равны $a$ и $b$, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна $m_c$.

Задача имеет решение в том и только в том случае, если можно построить вспомогательный треугольник $ACD$, то есть когда для отрезков $a$, $b$ и $2m_c$ выполняется неравенство треугольника: $a + b > 2m_c$, $a + 2m_c > b$ и $b + 2m_c > a$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника описан выше в пункте "Построение".