Номер 314, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 314, страница 90.

Условие.

314 Постройте прямоугольный треугольник по:

а) гипотенузе и острому углу;

б) катету и противолежащему углу;

в) гипотенузе и катету.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) гипотенузе и острому углу

Пусть даны отрезок $c$, равный гипотенузе, и острый угол $\alpha$.

Порядок построения:
1. Строим отрезок $AB$, длина которого равна $c$.
2. Находим середину отрезка $AB$, точку $O$, построив серединный перпендикуляр.
3. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (или $OB$).
4. От луча $AB$ в одной из полуплоскостей строим угол, равный данному углу $\alpha$. Получаем луч $AM$.
5. Точку пересечения луча $AM$ и окружности обозначаем как $C$.
6. Соединяем точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ является гипотенузой и ее длина равна $c$ по построению. Угол $BAC$ равен $\alpha$ по построению. Так как угол $ACB$ вписан в окружность и опирается на ее диаметр $AB$, то его величина равна $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с заданными гипотенузой и острым углом.

Ответ: Треугольник построен.

б) катету и противолежащему углу

Пусть даны отрезок $a$, равный катету, и острый угол $\alpha$, который лежит напротив этого катета.

Порядок построения:
1. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одной из сторон прямого угла откладываем отрезок $CB$, длина которого равна $a$.
3. Строим угол, равный $90^\circ - \alpha$. Для этого строим вспомогательный прямой угол, откладываем от одной из его сторон угол $\alpha$ (внутрь), и оставшаяся часть прямого угла будет искомым углом.
4. При вершине $B$ от луча $BC$ строим угол, равный $90^\circ - \alpha$, так, чтобы вторая его сторона пересекала вторую сторону прямого угла $C$.
5. Точку пересечения обозначаем $A$.
6. Соединяем точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$ угол $BCA$ равен $90^\circ$ по построению, катет $BC$ равен $a$ по построению. Угол $ABC$ равен $90^\circ - \alpha$ по построению. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $BAC = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с заданным катетом и противолежащим ему острым углом.

Ответ: Треугольник построен.

в) гипотенузе и катету

Пусть даны отрезок $c$, равный гипотенузе, и отрезок $a$, равный катету (при условии, что $c > a$).

Порядок построения:
1. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одной из сторон прямого угла откладываем отрезок $CB$, длина которого равна $a$.
3. Из точки $B$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным $c$.
4. Точку пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла $C$ обозначаем как $A$.
5. Соединяем точки $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$ угол $BCA$ равен $90^\circ$ по построению. Катет $BC$ равен $a$ по построению. Отрезок $AB$ соединяет точку $A$ на одной стороне прямого угла с точкой $B$, являющейся центром окружности радиуса $c$, на которой лежит точка $A$. Следовательно, длина $AB$ равна $c$. Так как $AB$ — сторона, противолежащая прямому углу, она является гипотенузой. Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный с заданными гипотенузой и катетом.

Ответ: Треугольник построен.