Номер 308, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 308, страница 90.

Условие.

308 В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$, равным 37 см, внешний угол при вершине $B$ равен $60^\circ$. Найдите расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Длина основания $AC = 37$ см. Внешний угол при вершине $B$ равен $60^\circ$. Найти нужно расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$.

1. Внутренний угол треугольника при вершине $B$ (угол $\angle ABC$) и внешний угол при этой же вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

2. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BCA + 120^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BCA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\angle BCA = \angle BAC = 30^\circ$

3. Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $CH$, где $H$ — основание перпендикуляра. Так как угол $\angle ABC = 120^\circ$ (тупой), точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $AB$ за вершиной $B$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$ ( $\angle CHB = 90^\circ$ ). Угол $\angle CBH$ является смежным с углом $\angle ABC$, и он равен внешнему углу при вершине $B$:

$\angle CBH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

В треугольнике $CHB$ искомый отрезок $CH$ является катетом, противолежащим углу $\angle CBH$. Гипотенузой является сторона $BC$. По определению синуса:

$CH = BC \cdot \sin(\angle CBH) = BC \cdot \sin(60^\circ)$

5. Для вычисления $CH$ необходимо найти длину боковой стороны $BC$. Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$\frac{37}{\sin(120^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)}$

Выразим $BC$:

$BC = \frac{37 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)}$

Используя значения синусов $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$BC = \frac{37 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{37}{\sqrt{3}}$ см

6. Теперь найдем расстояние $CH$:

$CH = BC \cdot \sin(60^\circ) = \frac{37}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{37}{2} = 18,5$ см

Ответ: 18,5 см.