Номер 303, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 303, страница 90.

Условие.

303* Докажите, что в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что медиана $AM$ в треугольнике $ABC$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, выполним дополнительное построение.

1. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный по длине отрезку $AM$. То есть, $AM = MD$.

2. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$. Получим четырехугольник $ABDC$.

3. Рассмотрим диагонали этого четырехугольника: $AD$ и $BC$. Они пересекаются в точке $M$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $AD$ ($AM = MD$). Так как $AM$ является медианой треугольника $ABC$, точка $M$ также является серединой стороны $BC$ ($BM = MC$).

4. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом (согласно признаку параллелограмма).

5. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны. Таким образом, $BD = AC$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Применим это правило к стороне $AD$:

$AD < AB + BD$

7. В полученном неравенстве заменим $AD$ и $BD$ на равные им величины. Из нашего построения следует, что $AD = AM + MD = AM + AM = 2 \cdot AM$. Из свойства параллелограмма мы знаем, что $BD = AC$. Подставим эти значения в неравенство:

$2 \cdot AM < AB + AC$

8. Разделив обе части неравенства на 2, мы получим искомое соотношение:

$AM < \frac{AB + AC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, выходящих из той же вершины.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ действительно меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$.