Номер 304, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 304, страница 90.

Условие.

304* Докажите, что если точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$, то $MB + MC < AB + AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся дополнительным построением и неравенством треугольника.

Пусть $M$ — произвольная точка внутри треугольника $ABC$. Проведём луч $BM$ до его пересечения со стороной $AC$ в точке $D$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны: $AB + AD > BD$

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BD$, то длина отрезка $BD$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MD$, то есть $BD = BM + MD$. Подставим это выражение в предыдущее неравенство: $AB + AD > BM + MD$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $MDC$. Для него также справедливо неравенство треугольника: $MD + DC > MC$ (2)

Сложим неравенства (1) и (2). При сложении неравенств одного знака мы складываем их левые и правые части соответственно: $(AB + AD) + (MD + DC) > (BM + MD) + MC$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $AB + AD + MD + DC > BM + MD + MC$

Вычтем из обеих частей неравенства длину отрезка $MD$: $AB + AD + DC > BM + MC$

Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$: $AD + DC = AC$. Заменим эту сумму в нашем неравенстве: $AB + AC > BM + MC$

Это неравенство можно записать в виде $MB + MC < AB + AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.