Номер 300, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 300, страница 89.

Условие.

300 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства разобьём утверждение на две части.

Доказательство для высоты, проведённой из вершины тупого угла

Пусть дан тупоугольный треугольник $ABC$, где угол $\angle B$ — тупой, то есть $\angle B > 90^\circ$. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B$. Так как $\angle B > 90^\circ$, то $\angle A + \angle C < 90^\circ$. Это означает, что углы $\angle A$ и $\angle C$ являются острыми.

Проведём высоту $BH_b$ из вершины тупого угла $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. По определению высоты, $BH_b \perp AC$, следовательно, $\angle BH_bA = \angle BH_bC = 90^\circ$.

Докажем от противного. Предположим, что основание высоты $H_b$ лежит не на стороне $AC$, а на её продолжении, например, за точкой $C$. В этом случае мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle BH_bC$. Угол $\angle BCA$ (то есть угол $\angle C$ исходного треугольника) является внешним углом для $\triangle BH_bC$ при вершине $C$. По свойству внешнего угла, он больше любого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним. Таким образом, $\angle BCA > \angle BH_bC$.

Но $\angle BH_bC = 90^\circ$, значит, мы получаем, что $\angle C > 90^\circ$. Это противоречит тому, что угол $\angle C$ — острый.

Аналогично, если предположить, что точка $H_b$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $A$, то мы получим, что угол $\angle A$ должен быть больше $90^\circ$, что также противоречит условию.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и точка $H_b$ должна лежать между точками $A$ и $C$, то есть на стороне $AC$.

Ответ: Основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, что и требовалось доказать.

Доказательство для высот, проведённых из вершин острых углов

Теперь рассмотрим высоту, проведённую из вершины острого угла, например, из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Обозначим основание этой высоты как $H_a$. Таким образом, $AH_a \perp BC$ и $\angle AH_aB = 90^\circ$.

Снова воспользуемся методом от противного. Предположим, что основание высоты $H_a$ лежит на стороне $BC$. В этом случае мы можем рассмотреть треугольник $\triangle AH_aB$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Однако в треугольнике $\triangle AH_aB$ сумма только двух углов $\angle B$ и $\angle AH_aB$ уже будет больше $180^\circ$. Это следует из того, что $\angle B > 90^\circ$ (по условию, что это тупой угол), а $\angle AH_aB = 90^\circ$ (по построению высоты).

Получаем: $\angle B + \angle AH_aB > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Это противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, наше предположение о том, что точка $H_a$ лежит на стороне $BC$, неверно. Значит, точка $H_a$ лежит на прямой $BC$, но вне отрезка $BC$, то есть на продолжении стороны.

Аналогичное доказательство можно провести для высоты $CH_c$, проведённой из вершины острого угла $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Предположение, что $H_c$ лежит на стороне $AB$, приведёт к рассмотрению $\triangle CH_cB$, в котором сумма углов $\angle B$ и $\angle CH_cB$ также будет больше $180^\circ$.

Ответ: Основания высот, проведённых из вершин острых углов, лежат на продолжениях сторон, что и требовалось доказать.