Номер 298, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 298, страница 89.

Условие.

298 На рисунке 145 $AD \parallel BE$, $AC = AD$ и $BC = BE$. Докажите, что угол $\angle DCE$ — прямой.

Рис. 145

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию, $AC = AD$. Это означает, что треугольник $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим эти углы:

$\angle ACD = \angle ADC = \alpha$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $A$ равен:

$\angle CAD = 180^\circ - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCE$. По условию, $BC = BE$. Следовательно, треугольник $\triangle BCE$ является равнобедренным с основанием $CE$. Углы при основании этого треугольника также равны. Обозначим их:

$\angle BCE = \angle BEC = \beta$.

Тогда угол при вершине $B$ равен:

$\angle CBE = 180^\circ - 2\beta$.

По условию, прямые $AD$ и $BE$ параллельны ($AD \parallel BE$). Прямая $AB$ является для них секущей. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBE$ являются односторонними внутренними углами при параллельных прямых $AD$ и $BE$ и секущей $AB$. Сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$.

$\angle CAD + \angle CBE = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов, которые мы нашли ранее:

$(180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\beta) = 180^\circ$.

Упростим полученное уравнение:

$360^\circ - 2\alpha - 2\beta = 180^\circ$

$360^\circ - 180^\circ = 2\alpha + 2\beta$

$180^\circ = 2(\alpha + \beta)$

$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Точки $A$, $C$, $B$ лежат на одной прямой, образуя развернутый угол, равный $180^\circ$. Этот угол состоит из трех углов: $\angle ACD$, $\angle DCE$ и $\angle BCE$.

$\angle ACD + \angle DCE + \angle BCE = 180^\circ$.

Подставим наши обозначения $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha + \angle DCE + \beta = 180^\circ$.

Сгруппируем $\alpha$ и $\beta$:

$\angle DCE + (\alpha + \beta) = 180^\circ$.

Мы уже доказали, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение:

$\angle DCE + 90^\circ = 180^\circ$.

$\angle DCE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, угол $DCE$ является прямым. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол $DCE$ равен $90^\circ$, то есть является прямым.