Номер 19, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 19, страница 89.

Условие.

19 Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения, которое по сути является определением геометрического места точек, равноудаленных от прямой, необходимо показать два факта:

1. Каждая точка прямой, параллельной данной и расположенной на заданном расстоянии от нее, действительно равноудалена от данной прямой.
2. Каждая точка, равноудаленная от данной прямой и лежащая с одной стороны от нее, принадлежит этой параллельной прямой.

Пусть нам дана прямая $a$ и положительное число $d$, задающее расстояние.

Доказательство (часть 1)

Сначала докажем, что все точки прямой $b$, параллельной прямой $a$ и построенной на расстоянии $d$ от нее, удовлетворяют заданному условию.

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$. Восставим из точки $A$ перпендикуляр к прямой $a$ и отложим на нем в нужную сторону отрезок $AB$ длиной $d$. По определению, расстояние от точки $B$ до прямой $a$ равно $d$.

2. Проведем через точку $B$ прямую $b$, параллельную прямой $a$ ($b \parallel a$).

3. Возьмем на прямой $b$ любую другую точку $C$. Чтобы найти расстояние от точки $C$ до прямой $a$, опустим из нее перпендикуляр $CD$ на прямую $a$. Нам нужно доказать, что $CD = d$.

4. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. В нем:

• $AB \perp a$ по построению, и $CD \perp a$ по построению. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, следовательно, $AB \parallel CD$.
• Стороны $AD$ и $BC$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$ соответственно ($a \parallel b$), значит, $AD \parallel BC$.

5. Так как у четырехугольника $ABDC$ противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом. А поскольку углы при вершинах $A$ и $D$ прямые, то это прямоугольник.

6. В параллелограмме (и, в частности, в прямоугольнике) противоположные стороны равны. Значит, $CD = AB$.

7. Поскольку мы строили $AB = d$, то и $CD = d$.

Это означает, что любая точка $C$ на прямой $b$ находится на расстоянии $d$ от прямой $a$. Так как прямая $b$ не пересекает прямую $a$, все ее точки лежат по одну сторону от $a$. Следовательно, все точки прямой $b$ принадлежат искомому множеству.

Доказательство (часть 2)

Теперь докажем обратное: любая точка $P$, удовлетворяющая условию, лежит на построенной нами прямой $b$.

1. Пусть точка $P$ такова, что ее расстояние до прямой $a$ равно $d$, и она лежит с той же стороны от $a$, что и прямая $b$.

2. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Опустим перпендикуляр $PQ$ из точки $P$ на прямую $a$. По условию, $PQ = d$.

3. Сравним положение точки $P$ с точкой $B$ из первой части доказательства. Рассмотрим четырехугольник $ABQP$, где $A$ и $Q$ — основания перпендикуляров на прямой $a$.

• $AB \parallel PQ$, так как оба отрезка перпендикулярны прямой $a$.
• $AB = d$ по построению, и $PQ = d$ по условию. Значит, $AB = PQ$.

4. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABQP$ — параллелограмм.

5. В параллелограмме другие две стороны также параллельны, то есть $BP \parallel AQ$. Так как отрезок $AQ$ лежит на прямой $a$, то прямая, содержащая отрезок $BP$, параллельна прямой $a$.

6. Согласно аксиоме о параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку ($B$), не лежащую на данной прямой ($a$), можно провести только одну прямую, параллельную данной.

7. Мы уже построили прямую $b$, проходящую через $B$ и параллельную $a$. Поскольку точка $P$ также лежит на прямой, проходящей через $B$ и параллельной $a$, она обязана лежать на прямой $b$.

Таким образом, любая точка, удовлетворяющая условиям задачи, принадлежит прямой $b$.

Из двух частей доказательства следует, что искомое множество точек в точности совпадает с множеством точек прямой $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.