Номер 15, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 15, страница 89.

Условие.

15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $a$, где $H$ — основание перпендикуляра ($H \in a$). Также проведём из точки $A$ произвольную наклонную $AM$ к прямой $a$, где $M$ — основание наклонной ($M \in a$), причём точка $M$ не совпадает с точкой $H$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $H$ и $M$ — $\triangle AHM$.

По определению перпендикуляра, отрезок $AH$ образует с прямой $a$ прямой угол. Следовательно, угол $\angle AHМ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным, где $\angle H$ — прямой угол.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHM$ сторона $AH$ (перпендикуляр) и сторона $HM$ являются катетами, а сторона $AM$ (наклонная), лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой.

Известно, что в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть она длиннее любого из катетов. Таким образом, для $\triangle AHM$ справедливо неравенство: $AM > AH$.

Поскольку мы выбрали наклонную $AM$ произвольно, это утверждение верно для любой наклонной, проведённой из точки $A$ к прямой $a$. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве прямоугольного треугольника. Перпендикуляр и наклонная, проведённые из одной точки к прямой, вместе с отрезком прямой между их основаниями образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то любая наклонная длиннее перпендикуляра.