Номер 11, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 11, страница 88.

Условие.

11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Доказательство прямого утверждения

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и один из острых углов, например $\angle A$, равен $30^\circ$. Нам нужно доказать, что катет $BC$, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы $AB$.

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, второй острый угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Выполним дополнительное построение. Приложим к треугольнику $\triangle ABC$ равный ему треугольник $\triangle ADC$ так, чтобы сторона $AC$ была общей. В результате получим треугольник $\triangle ABD$.

3. Так как $\triangle ABC = \triangle ADC$ по построению, то соответствующие углы и стороны этих треугольников равны.

• $\angle CAD = \angle CAB = 30^\circ$
• $\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$
• $AD = AB$ и $CD = CB$

4. Рассмотрим полученный треугольник $\triangle ABD$. Найдем его углы:

• $\angle DAB = \angle CAB + \angle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$
• $\angle B = 60^\circ$ (из пункта 1)
• $\angle D = 60^\circ$ (из пункта 3)

5. Так как все углы треугольника $\triangle ABD$ равны $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AB = AD = BD$.

6. Сторона $BD$ состоит из двух отрезков: $BD = BC + CD$. Поскольку $BC = CD$ (из пункта 3), то $BD = 2 \cdot BC$.

7. Из равенства сторон равностороннего треугольника $\triangle ABD$ мы знаем, что $AB = BD$. Подставив выражение для $BD$ из пункта 6, получаем: $AB = 2 \cdot BC$.

8. Отсюда следует, что $BC = \frac{1}{2}AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Обратное утверждение и его доказательство

Сформулируем обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и катет $BC$ равен половине гипотенузы $AB$, то есть $BC = \frac{1}{2}AB$. Нам нужно доказать, что $\angle A = 30^\circ$.

1. Выполним такое же дополнительное построение, как и в прямом доказательстве. Приложим к $\triangle ABC$ равный ему треугольник $\triangle ADC$ по общей стороне $AC$. Получим треугольник $\triangle ABD$.

2. По построению $\triangle ABC = \triangle ADC$, следовательно, $AD = AB$ и $CD = BC$.

3. Рассмотрим сторону $BD$ треугольника $\triangle ABD$. Она состоит из отрезков $BC$ и $CD$. Так как $CD = BC$, то $BD = 2 \cdot BC$.

4. По условию задачи мы знаем, что $BC = \frac{1}{2}AB$, или, что то же самое, $AB = 2 \cdot BC$.

5. Сравним стороны треугольника $\triangle ABD$:

• $AB$
• $AD = AB$ (из пункта 2)
• $BD = 2 \cdot BC$ (из пункта 3). А так как $AB = 2 \cdot BC$ (из пункта 4), то $BD = AB$.

6. Таким образом, все стороны треугольника $\triangle ABD$ равны между собой: $AB = AD = BD$. Это означает, что $\triangle ABD$ — равносторонний.

7. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle DAB = 60^\circ$.

8. Угол $\angle DAB$ состоит из двух углов: $\angle DAB = \angle CAB + \angle CAD$. Так как $\triangle ABC = \triangle ADC$, то $\angle CAB = \angle CAD$.

9. Отсюда следует, что $\angle DAB = 2 \cdot \angle CAB$. Подставляя значение $\angle DAB$, получаем: $60^\circ = 2 \cdot \angle CAB$.

10. Следовательно, $\angle CAB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.