Номер 9, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 9, страница 88.

Условие.

9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что любая его сторона, например $AC$, меньше суммы двух других сторон $AB$ и $BC$, то есть докажем неравенство $AC < AB + BC$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $AB$ за вершину $B$ отложим отрезок $BD$, длина которого равна длине стороны $BC$. Таким образом, $BD = BC$.

Соединим точки $C$ и $D$. В результате мы получили треугольник $BCD$. Так как по построению $BC = BD$, то треугольник $BCD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BCD = \angle BDC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Угол $\angle ACD$ является суммой двух углов: $\angle ACB$ и $\angle BCD$. То есть, $\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD$.

Так как $\angle ACB$ — это угол исходного треугольника (его величина больше нуля), то очевидно, что $\angle ACD > \angle BCD$.

Заменив в этом неравенстве $\angle BCD$ на равный ему угол $\angle BDC$, получаем: $\angle ACD > \angle BDC$.

В треугольнике $ACD$ мы сравнили два угла. Воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника: против большего угла лежит большая сторона. Так как в треугольнике $ACD$ угол $\angle ACD$ больше угла $\angle BDC$ (или $\angle ADC$, что то же самое), то сторона $AD$, лежащая против угла $\angle ACD$, больше стороны $AC$, лежащей против угла $\angle ADC$.

Таким образом, $AD > AC$.

По нашему построению, длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BD$: $AD = AB + BD$. А так как мы откладывали $BD = BC$, то получаем $AD = AB + BC$.

Подставив это в наше неравенство $AD > AC$, получаем $AB + BC > AC$, что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно провести для двух других сторон треугольника, доказав неравенства $BC < AB + AC$ и $AB < BC + AC$.

Ответ: Доказательство основано на построении дополнительного равнобедренного треугольника и использовании свойства о том, что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. В результате мы приходим к выводу, что любая сторона треугольника (например, $c$) всегда меньше суммы двух других сторон ($a+b$): $c < a + b$.

Что такое неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальное утверждение в геометрии, которое гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Это свойство является необходимым и достаточным условием для существования треугольника с заданными длинами сторон.

Если стороны треугольника обозначить как $a$, $b$ и $c$, то для того, чтобы такой треугольник мог существовать, должны одновременно выполняться три неравенства:
$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$

Например, из отрезков длиной 3, 4 и 5 можно составить треугольник, так как выполняются все условия: $3 < 4+5$ (верно), $4 < 3+5$ (верно), $5 < 3+4$ (верно). А из отрезков длиной 3, 4 и 8 составить треугольник нельзя, так как нарушается одно из неравенств: $8 < 3+4$ (неверно, так как $8 > 7$).

Ответ: Неравенство треугольника — это утверждение о том, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Если стороны треугольника обозначить как $a, b, c$, то должны выполняться неравенства: $a < b + c$, $b < a + c$ и $c < a + b$.