Номер 6, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 6, страница 88.

Условие.

6 Докажите, что в треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

1) против большей стороны лежит больший угол;

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. Докажем, что угол $B$, лежащий против стороны $AC$, больше угла $C$, лежащего против стороны $AB$.

Отложим на стороне $AC$ отрезок $AD$, равный стороне $AB$. Так как $AC > AB$, точка $D$ будет лежать между точками $A$ и $C$.

Соединим точки $B$ и $D$. Получим треугольник $ABD$. Так как $AD = AB$ по построению, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ABD = \angle ADB$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Угол $ADB$ является для него внешним. По свойству внешнего угла треугольника, он больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. В частности, $\angle ADB > \angle C$.

Теперь составим цепочку неравенств. Мы знаем, что:

1. $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Отсюда следует, что $\angle B > \angle ABD$ (так как $\angle DBC$ — угол треугольника и его мера положительна).
2. $\angle ABD = \angle ADB$ (из равнобедренного $\triangle ABD$).
3. $\angle ADB > \angle C$ (как внешний угол для $\triangle BDC$).

Объединяя эти факты, получаем: $\angle B > \angle ABD = \angle ADB > \angle C$.

Следовательно, $\angle B > \angle C$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $B$ больше угла $C$, то есть $\angle B > \angle C$. Докажем, что сторона $AC$, лежащая против угла $B$, больше стороны $AB$, лежащей против угла $C$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть сторона $AC$ не больше стороны $AB$. Тогда возможны два случая:

1. $AC = AB$.
   Если стороны равны, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle B = \angle C$. Но это противоречит условию задачи, согласно которому $\angle B > \angle C$. Следовательно, это предположение неверно.
2. $AC < AB$.
   Если сторона $AB$ больше стороны $AC$, то согласно теореме, доказанной в пункте 1, против большей стороны должен лежать больший угол. То есть, против стороны $AB$ должен лежать угол $C$, который должен быть больше угла $B$, лежащего против стороны $AC$. Получаем неравенство $\angle C > \angle B$. Это также противоречит условию задачи ($\angle B > \angle C$). Следовательно, и это предположение неверно.

Поскольку оба возможных предположения ($AC = AB$ и $AC < AB$) привели к противоречию, они являются ложными. Методом исключения остается единственная возможность, которая и является верной: $AC > AB$.

Следовательно, против большего угла лежит большая сторона, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.