Номер 7, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 7, страница 88.

Условие.

7 Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения можно рассмотреть два способа, основанных на разных свойствах треугольников.

Доказательство через соотношение сторон и углов треугольника

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник, назовем его $ABC$, где угол $C$ — прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Стороны, лежащие напротив углов $A$, $B$ и $C$, обозначим как $a$, $b$ и $c$ соответственно. В этом случае $a$ и $b$ являются катетами, а $c$ — гипотенузой.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Таким образом, для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим известное значение угла $C$: $\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$. Отсюда следует, что сумма двух других углов равна $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Поскольку в любом невырожденном треугольнике все углы больше $0^\circ$, то $\angle A > 0^\circ$ и $\angle B > 0^\circ$. Из этого следует, что каждый из углов $A$ и $B$ строго меньше $90^\circ$. То есть, $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике прямой угол $C$ является наибольшим углом. В геометрии существует теорема, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle C$ — наибольший угол, то противолежащая ему сторона $c$ (гипотенуза) является наибольшей стороной треугольника.

Сравнивая гипотенузу с катетами, получаем:

• Так как $\angle C > \angle A$, то сторона $c > a$.
• Так как $\angle C > \angle B$, то сторона $c > b$.

Следовательно, гипотенуза больше каждого из катетов.

Доказательство через теорему Пифагора

Рассмотрим тот же прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

Длины сторон треугольника — это положительные числа, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Теперь сравним гипотенузу $c$ с катетом $a$. Из теоремы Пифагора мы знаем, что $c^2 = a^2 + b^2$. Поскольку $b^2$ — положительное число, мы можем утверждать, что $c^2 > a^2$. Так как длины сторон $c$ и $a$ не могут быть отрицательными, извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $c > a$.

Аналогично сравним гипотенузу $c$ с катетом $b$. Из формулы $c^2 = a^2 + b^2$ и того факта, что $a^2 > 0$, следует, что $c^2 > b^2$. Извлекая квадратный корень, получаем $c > b$.

Таким образом, мы снова приходим к выводу, что гипотенуза $c$ больше как катета $a$, так и катета $b$.

Ответ: Утверждение доказано обоими способами. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше каждого из катетов.