Номер 1, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 1, страница 88.

Условие.

1 Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии равна $180^\circ$.

Для треугольника $ABC$ это означает, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$.

Проведем через вершину $B$ прямую $de$, параллельную стороне $AC$.

Углы $\angle DBA$, $\angle ABC$ и $\angle CBE$ образуют развернутый угол с вершиной в точке $B$, так как они лежат на прямой $de$. Сумма этих углов равна $180^\circ$:

$\angle DBA + \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$

Угол $\angle DBA$ и угол $\angle BAC$ (или $\angle A$) являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $de$ и $AC$ и секущей $AB$. Следовательно, они равны:

$\angle DBA = \angle BAC = \angle A$

Аналогично, угол $\angle CBE$ и угол $\angle BCA$ (или $\angle C$) являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $de$ и $AC$ и секущей $BC$. Следовательно, они также равны:

$\angle CBE = \angle BCA = \angle C$

Теперь в исходном равенстве $\angle DBA + \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ заменим $\angle DBA$ на равный ему $\angle A$, а $\angle CBE$ на равный ему $\angle C$. Угол $\angle ABC$ это и есть угол $\angle B$ треугольника. Получаем:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Теорема доказана.

Ответ: Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.