Номер 293, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 293, страница 87.

Условие.

293 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Решение

Даны отрезки $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ и угол $hk$ (рис. 144, а). Требуется построить треугольник $ABC$, у которого одна из сторон, скажем $AB$, равна отрезку $P_1Q_1$, один из прилежащих к ней углов, например угол $A$, равен данному углу $hk$, а высота $CH$, проведённая к стороне $AB$, равна данному отрезку $P_2Q_2$.

Построим угол $XAY$, равный данному углу $hk$, и отложим на луче $AX$ отрезок $AB$, равный данному отрезку $P_1Q_1$ (рис. 144, б).

Рис. 144 а) б)

Для построения вершины $C$ искомого треугольника заметим, что расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ должно равняться $P_2Q_2$. Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии $P_2Q_2$ от прямой $AB$ и лежащих по ту же сторону от прямой $AB$, что и точка $Y$, является прямая $p$, параллельная прямой $AB$ и находящаяся на расстоянии $P_2Q_2$ от прямой $AB$. Следовательно, искомая точка $C$ есть точка пересечения прямой $p$ и луча $AY$. Построение прямой $p$ описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи: $AB=P_1Q_1$, $CH=P_2Q_2$, $\angle A=\angle hk$.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по заданной стороне, прилежащему к ней углу и высоте, опущенной на эту сторону. Пусть даны:

• отрезок $P_1Q_1$, равный по длине стороне $AB$;
• угол $\angle hk$, равный углу $\angle A$;
• отрезок $P_2Q_2$, равный по длине высоте $CH$, проведенной к стороне $AB$.

Построение

Алгоритм построения треугольника $ABC$ с помощью циркуля и линейки выглядит следующим образом:

1. Строим произвольную прямую $a$ и отмечаем на ней точку $A$.
2. От луча, исходящего из точки $A$ вдоль прямой $a$, откладываем угол, равный данному углу $\angle hk$. Получаем луч $l$.
3. На прямой $a$ от точки $A$ откладываем отрезок $AB$, длина которого равна длине отрезка $P_1Q_1$.
4. Теперь необходимо найти вершину $C$. Мы знаем, что высота $CH$ до стороны $AB$ равна $P_2Q_2$. Это означает, что точка $C$ удалена от прямой $a$ (содержащей сторону $AB$) на расстояние, равное $P_2Q_2$. Множеством всех таких точек является пара прямых, параллельных прямой $a$ и отстоящих от нее на расстояние $P_2Q_2$.
5. Строим одну из таких прямых, назовем ее $p$. Для этого в любой точке прямой $a$ (например, в точке $A$) восставляем перпендикуляр к прямой $a$. На этом перпендикуляре откладываем отрезок длиной $P_2Q_2$. Через конец этого отрезка проводим прямую $p$, параллельную прямой $a$.
6. Точка пересечения луча $l$ и прямой $p$ является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи:

• Сторона $AB$ по построению равна отрезку $P_1Q_1$.
• Угол $\angle BAC$ (то есть $\angle A$) по построению равен углу $\angle hk$, так как вершина $C$ лежит на луче $l$.
• Высота $CH$, проведенная к стороне $AB$, есть расстояние от точки $C$ до прямой $a$. По построению точка $C$ лежит на прямой $p$, которая параллельна прямой $a$ и находится на расстоянии $P_2Q_2$ от нее. Следовательно, $CH = P_2Q_2$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности), если данный угол $\angle hk$ не является развернутым или нулевым (т.е. $0^\circ < \angle hk < 180^\circ$). В этом случае луч $l$ не будет параллелен прямой $a$ и, следовательно, пересечет прямую $p$ в единственной точке.

Ответ: описанный выше алгоритм построения позволяет однозначно построить искомый треугольник по заданным стороне, прилежащему углу и высоте, проведенной к этой стороне, при условии, что заданный угол больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$.