Номер 290, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 290, страница 87.

Условие.

290 ☐ Постройте прямоугольный треугольник:

а) по двум катетам;

б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) по двум катетам

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$.

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $C$.
2. Построим прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную исходной прямой. Для этого можно использовать циркуль и линейку для построения перпендикуляра. В результате мы получим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $C$, которая будет вершиной прямого угла нашего треугольника.
3. На одной из прямых от точки $C$ отложим отрезок $CA$, длина которого равна $a$.
4. На другой (перпендикулярной) прямой от точки $C$ отложим отрезок $CB$, длина которого равна $b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Полученный треугольник $\triangle ABC$ является искомым, так как по построению угол $\angle C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), а его катеты $AC$ и $BC$ равны заданным длинам $a$ и $b$. Построение основано на определении прямоугольного треугольника и аксиомах откладывания отрезков.

Ответ: Треугольник построен.

б) по катету и прилежащему к нему острому углу

Пусть дан отрезок длиной $a$ (катет) и острый угол $\alpha$, который прилегает к этому катету (т.е. является углом между данным катетом и гипотенузой).

1. Проведем произвольную прямую и на ней отложим отрезок $AC$, равный по длине данному катету $a$.
2. От луча $AC$ в одной из полуплоскостей построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого из точки $A$ проведем луч $AM$ так, чтобы $\angle CAM = \alpha$. На этом луче будет лежать гипотенуза искомого треугольника.
3. Построим прямой угол треугольника. Так как $AC$ – это катет, то прямой угол должен прилегать к нему. Возможны два случая: прямой угол в вершине $C$ или в вершине $A$. Поскольку $\alpha$ – острый угол, прямой угол не может быть в вершине $A$. Следовательно, он находится в вершине $C$.
4. Через точку $C$ проведем прямую, перпендикулярную прямой $AC$.
5. Точку пересечения этой перпендикулярной прямой с лучом $AM$ обозначим буквой $B$.

Полученный треугольник $\triangle ABC$ является искомым. По построению он прямоугольный, так как $\angle C = 90^\circ$. Его катет $AC$ равен $a$, а прилежащий к нему острый угол $\angle CAB$ равен $\alpha$. Построение основано на признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: Треугольник построен.