Номер 283, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 283, страница 86.

Условие.

283 Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть на плоскости задана прямая $l$ и некоторое расстояние $d > 0$. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на расстоянии $d$ от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Рассмотрим произвольную точку $A$ на прямой $l$. Все точки, находящиеся на расстоянии $d$ от прямой $l$, перпендикуляр к которым проходит через точку $A$, лежат на прямой, перпендикулярной $l$ и проходящей через $A$. На этой перпендикулярной прямой существуют ровно две такие точки: $M_1$ и $M_2$. Они расположены по разные стороны от прямой $l$ на расстоянии $d$ от точки $A$.

Если мы рассмотрим все точки на прямой $l$, то для каждой из них найдется своя пара точек, удаленных на расстояние $d$. Множество всех точек, лежащих по одну сторону от прямой $l$ (например, все точки типа $M_1$), образует прямую $l_1$. Аналогично, множество всех точек, лежащих по другую сторону от $l$ (все точки типа $M_2$), образует прямую $l_2$.

Докажем, что полученные прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны исходной прямой $l$. Возьмём две произвольные точки $A$ и $B$ на прямой $l$. Построим точки $M_A$ и $M_B$, лежащие по одну сторону от $l$, так, что $M_A A \perp l$, $M_B B \perp l$ и длины отрезков $M_A A$ и $M_B B$ равны $d$. Поскольку отрезки $M_A A$ и $M_B B$ оба перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны друг другу. Так как их длины равны ($M_A A = M_B B = d$), то четырёхугольник $ABM_B M_A$ является прямоугольником. Из свойств прямоугольника следует, что его противоположные стороны параллельны, то есть $M_A M_B \parallel AB$. Поскольку отрезок $AB$ лежит на прямой $l$, а отрезок $M_A M_B$ — на прямой $l_1$, то прямая $l_1$ параллельна прямой $l$.

Аналогичное рассуждение справедливо и для прямой $l_2$, расположенной по другую сторону от $l$.

Следовательно, искомое множество точек состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и находящихся от неё на заданном расстоянии $d$.

Ответ: Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, представляет собой пару параллельных прямых, расположенных по обе стороны от данной прямой на этом расстоянии.