Номер 285, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 285, страница 86.

Условие.

285 Даны пересекающиеся прямые $a$ и $b$ и отрезок $PQ$. На прямой $a$ постройте точку, удалённую от прямой $b$ на расстояние $PQ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи нужно найти точки, которые одновременно принадлежат прямой $a$ и являются геометрическим местом точек (ГМТ), удаленных от прямой $b$ на расстояние $PQ$.

Анализ

Пусть $X$ — искомая точка. По условию задачи, она должна удовлетворять двум требованиям:

1. Точка $X$ принадлежит прямой $a$ ($X \in a$).

2. Расстояние от точки $X$ до прямой $b$ равно длине отрезка $PQ$. Если обозначить расстояние как $\rho(X, b)$, то $\rho(X, b) = |PQ|$.

Множество всех точек плоскости, расстояние от которых до прямой $b$ равно $|PQ|$, представляет собой две прямые, назовем их $c$ и $d$. Эти прямые параллельны прямой $b$ и находятся по разные стороны от нее на расстоянии $|PQ|$.

Таким образом, искомые точки являются результатом пересечения прямой $a$ (условие 1) и двух прямых $c$ и $d$ (условие 2). То есть, это точки $a \cap c$ и $a \cap d$.

Построение

Алгоритм построения искомых точек с помощью циркуля и линейки:

1. Построим две прямые, параллельные прямой $b$ и отстоящие от нее на расстояние $|PQ|$.

a. Выберем на прямой $b$ произвольную точку $M$.

b. Проведем через точку $M$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $b$.

c. С помощью циркуля, установив его раствор равным длине отрезка $PQ$, отложим на прямой $p$ от точки $M$ два отрезка $MR$ и $MS$ в разные стороны от прямой $b$. Таким образом, $|MR| = |MS| = |PQ|$.

d. Через точку $R$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $b$ (для этого можно построить в точке $R$ перпендикуляр к прямой $p$).

e. Аналогично через точку $S$ проведем прямую $d$, параллельную прямой $b$.

2. Прямые $c$ и $d$ являются геометрическим местом точек, удаленных от прямой $b$ на расстояние $|PQ|$.

3. Найдем точки пересечения прямой $a$ с построенными прямыми $c$ и $d$. Обозначим их $X_1$ и $X_2$.

$X_1 = a \cap c$

$X_2 = a \cap d$

4. Точки $X_1$ и $X_2$ являются искомыми.

Доказательство

Построенные точки $X_1$ и $X_2$ удовлетворяют условиям задачи. Рассмотрим точку $X_1$:

- По построению, $X_1$ является точкой пересечения прямых $a$ и $c$, значит, $X_1$ лежит на прямой $a$.

- Прямая $c$ параллельна прямой $b$, и расстояние между ними равно $|PQ|$. Расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $b$ постоянно и равно $|PQ|$. Так как $X_1 \in c$, то расстояние от $X_1$ до прямой $b$ равно $|PQ|$.

Аналогично доказывается, что точка $X_2$ также удовлетворяет обоим условиям.

Исследование

По условию задачи, прямые $a$ и $b$ пересекаются, следовательно, они не параллельны ($a \not\parallel b$).

Построенные прямые $c$ и $d$ параллельны прямой $b$ ($c \parallel b$, $d \parallel b$).

Так как прямая $a$ не параллельна $b$, она не может быть параллельна и прямым $c$ и $d$. На плоскости две непараллельные прямые всегда пересекаются в одной точке.

Следовательно, прямая $a$ пересечет прямую $c$ в единственной точке $X_1$ и прямую $d$ в единственной точке $X_2$.

Поскольку прямые $c$ и $d$ различны и параллельны друг другу, точки $X_1$ и $X_2$ также различны.

Таким образом, задача всегда имеет ровно два решения.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения прямой $a$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой $b$ и находятся на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$, по обе стороны от нее. Задача всегда имеет два таких решения.