Номер 289, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 289, страница 87.

Условие.

289 Даны два угла $\angle hk$ и $\angle h_1k_1$ и отрезок $PQ$. Постройте треугольник ABC так, чтобы $AB=PQ$, $\angle A = \angle hk$, $\angle B = \frac{1}{2}\angle h_1k_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения треугольника $ABC$ по стороне и двум прилежащим углам необходимо выполнить следующую последовательность действий. Задача решается в два основных этапа: сначала мы строим угол, равный половине угла $\angle h_1k_1$, а затем используем его для построения искомого треугольника.

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}\angle h_1k_1$

Для того чтобы получить угол, равный половине данного угла $\angle h_1k_1$, нужно построить его биссектрису. Пусть $O_1$ — вершина угла $\angle h_1k_1$.

а) С помощью циркуля проводим дугу произвольного радиуса с центром в точке $O_1$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $M$ и $N$.

б) Из точек $M$ и $N$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (важно, чтобы этот радиус был больше половины расстояния между точками $M$ и $N$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим $K$.

в) Проводим луч $O_1K$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle h_1k_1$. Следовательно, угол $\angle MO_1K$ (или $\angle NO_1K$) равен $\frac{1}{2}\angle h_1k_1$.

2. Построение треугольника $ABC$

Теперь, когда у нас есть все необходимые элементы, мы можем построить треугольник $ABC$.

а) Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.

б) С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$ и откладываем на прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный $PQ$.

в) Строим угол, равный данному углу $\angle hk$, с вершиной в точке $A$ и одной стороной на луче $AB$. Для этого используем стандартную процедуру копирования угла. Полученный луч обозначим $AM$.

г) Строим угол, равный построенному нами на первом этапе углу $\frac{1}{2}\angle h_1k_1$, с вершиной в точке $B$ и одной стороной на луче $BA$. Важно, чтобы этот угол строился в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и угол при вершине $A$. Полученный луч обозначим $BN$.

д) Лучи $AM$ и $BN$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$.

В результате мы получаем треугольник $ABC$, в котором по построению сторона $AB = PQ$, $\angle A = \angle hk$ и $\angle B = \frac{1}{2}\angle h_1k_1$. Построение возможно, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$, то есть $\angle hk + \frac{1}{2}\angle h_1k_1 < 180^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен согласно описанному выше алгоритму.