Номер 291, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 291, страница 87.

Условие.

291 ▨ Постройте равнобедренный треугольник:

а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

б) по основанию и углу при основании;

в) по боковой стороне и углу при основании;

г) по основанию и боковой стороне;

д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию

Пусть дана боковая сторона длиной $b$ и угол при вершине, противолежащей основанию, равный $\alpha$. Требуется построить равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = b$ и углом $\angle ABC = \alpha$.
Порядок построения:
1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину буквой $B$.
2. На сторонах построенного угла от его вершины $B$ отложим с помощью циркуля два отрезка, равных длине данной боковой стороны $b$. Получим точки $A$ и $C$.
3. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком.
Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению он имеет две равные стороны (боковые) $AB = BC = b$ и угол между ними $\angle ABC = \alpha$. Это классическое построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Искомый равнобедренный треугольник построен.

б) по основанию и углу при основании

Пусть дано основание длиной $a$ и угол при основании, равный $\beta$. Требуется построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \beta$.
Порядок построения:
1. Построим отрезок $AC$, равный данному основанию $a$.
2. От луча $AC$ в одной полуплоскости построим угол $\angle CAB$, равный данному углу $\beta$.
3. От луча $CA$ в той же полуплоскости построим угол $\angle ACB$, равный данному углу $\beta$.
4. Точку пересечения сторон построенных углов (лучей $AB$ и $CB$) обозначим буквой $B$.
Треугольник $ABC$ является искомым. По построению его основание $AC = a$ и углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = \beta$. Так как углы при основании равны, то треугольник является равнобедренным. Это построение по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: Искомый равнобедренный треугольник построен.

в) по боковой стороне и углу при основании

Пусть дана боковая сторона длиной $b$ и угол при основании, равный $\beta$. Требуется построить равнобедренный треугольник $ABC$ с боковой стороной $AB=b$ и углом при основании $\angle BAC = \beta$. В равнобедренном треугольнике вторая боковая сторона $BC$ также равна $b$.
Порядок построения:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. Построим угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке $A$, одной из сторон которого является луч на построенной прямой.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $AB$, равный данной боковой стороне $b$.
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность радиусом, равным длине боковой стороны $b$.
5. Точка пересечения этой окружности с первоначальной прямой (отличная от точки $A$) будет третьей вершиной треугольника — точкой $C$.
6. Соединим точки $B$ и $C$.
Треугольник $ABC$ является искомым. По построению $AB = b$, угол при основании $\angle BAC = \beta$, и $BC = b$ (как радиус окружности). Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с заданной боковой стороной и углом при основании.

Ответ: Искомый равнобедренный треугольник построен.

г) по основанию и боковой стороне

Пусть дано основание длиной $a$ и боковая сторона длиной $b$. Требуется построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и боковыми сторонами $AB = BC = b$. Такое построение возможно только при выполнении неравенства треугольника: $b+b > a$, то есть $2b > a$.
Порядок построения:
1. Построим отрезок $AC$, равный данному основанию $a$.
2. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным данной боковой стороне $b$.
3. Из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности тем же радиусом $b$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначим буквой $B$.
5. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$.
Треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его основание $AC = a$, а боковые стороны $AB = b$ и $BC = b$. Это построение треугольника по трем сторонам.

Ответ: Искомый равнобедренный треугольник построен.

д) по основанию и медиане, проведённой к основанию

Пусть дано основание длиной $a$ и медиана, проведенная к основанию, длиной $m$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, она перпендикулярна основанию.
Порядок построения:
1. Построим отрезок $AC$, равный данному основанию $a$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем дуги окружности радиусом больше половины $AC$ и соединим точки их пересечения. Точку пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$ обозначим $M$. Точка $M$ — середина основания.
3. На серединном перпендикуляре от точки $M$ отложим отрезок $MB$, равный длине данной медианы $m$.
4. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$.
Треугольник $ABC$ является искомым. $AC = a$ по построению. $BM$ — медиана к основанию, и ее длина равна $m$. Так как точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то она равноудалена от его концов, то есть $AB = BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Искомый равнобедренный треугольник построен.