Номер 295, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 295, страница 88.

Условие.

295 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Анализ
Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам даны длины двух его сторон, например, $AC=b$ и $BC=a$, и длина медианы $AM=m_a$, проведенной к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC = \frac{a}{2}$. Рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике известны все три стороны: $AC=b$, $AM=m_a$ и $MC=\frac{a}{2}$. Такой треугольник можно построить по трем сторонам. Построив треугольник $AMC$, мы найдем вершины $A$, $M$ и $C$. Чтобы найти третью вершину $B$ искомого треугольника $ABC$, нужно на луче $CM$ отложить от точки $M$ отрезок $MB$, равный отрезку $MC$. Точка $B$ будет лежать на прямой $CM$ так, что $M$ — середина $BC$. Соединив точки $A$ и $B$, получим искомый треугольник $ABC$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AMC$ по трем известным сторонам.
Ответ: Задача решается путем построения вспомогательного треугольника $AMC$ по трем сторонам ($b$, $m_a$, $a/2$) и последующего достроения его до искомого треугольника $ABC$.

Построение
Пусть даны три отрезка, соответствующие длинам $a$, $b$ и $m_a$.
1. Построим отрезок, равный $\frac{a}{2}$. Для этого на произвольной прямой отложим отрезок, равный $a$, и разделим его пополам с помощью циркуля и линейки (построение серединного перпендикуляра).
2. Построим треугольник $AMC$ по трем сторонам: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = \frac{a}{2}$.
а) Проведем прямую и отложим на ней отрезок $MC$ длиной $\frac{a}{2}$.
б) Из точки $M$ проведем дугу окружности радиусом $m_a$.
в) Из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом $b$.
г) Точка пересечения этих дуг будет вершиной $A$.
3. Соединим точки $A$, $M$ и $C$. Треугольник $AMC$ построен.
4. На прямой, содержащей сторону $MC$, отложим от точки $M$ в сторону, противоположную точке $C$, отрезок $MB$, равный отрезку $MC$. Для этого можно провести окружность с центром в точке $M$ и радиусом $MC$. Точка пересечения окружности с прямой $MC$ (кроме точки $C$) и будет точкой $B$.
5. Соединим точки $A$ и $B$.
Треугольник $ABC$ является искомым.
Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен.

Доказательство
В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $b$. Отрезок $AM$ по построению равен $m_a$. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, и по построению $BM = MC$. Следовательно, $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$. Так как $MC = \frac{a}{2}$ и $BM = MC = \frac{a}{2}$ по построению, то $BC = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет стороны $AC=b$, $BC=a$ и медиану к стороне $BC$, равную $m_a$, что и требовалось.
Ответ: Построение верное, так как полученный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование
Основным этапом построения является построение треугольника $AMC$ по трем сторонам $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$. Такой треугольник можно построить тогда и только тогда, когда для его сторон выполняется неравенство треугольника. То есть, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.
Необходимо одновременное выполнение трех условий:
1. $b + m_a > \frac{a}{2}$
2. $b + \frac{a}{2} > m_a$
3. $m_a + \frac{a}{2} > b$
Если эти условия выполняются, то дуги окружностей в пункте 2 построения пересекутся в одной точке (если рассматривать одну полуплоскость относительно прямой $MC$), и задача будет иметь единственное решение (с точностью до симметрии). Если одно из неравенств обращается в равенство, то точки $A$, $M$, $C$ будут лежать на одной прямой, и треугольник выродится в отрезок. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то построение треугольника $AMC$ невозможно, и задача не имеет решений.
Ответ: Задача имеет единственное решение, если для заданных длин $a, b, m_a$ выполняются неравенства $b + m_a > a/2$, $b + a/2 > m_a$ и $m_a + a/2 > b$. В противном случае задача не имеет решений.