Номер 2, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 2, страница 88.

Условие.

2 Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой угол называется внешним углом треугольника?

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Он образуется одной из сторон треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Ответ: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из его внутренних углов.

Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ - его внутренние углы. Продолжим сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D$. Угол $\angle BCD$ является внешним углом треугольника при вершине $C$.

Дано: $\triangle ABC$, $\angle BCD$ - внешний угол.

Доказать: $\angle BCD = \angle A + \angle B$.

Доказательство:

1. По теореме о сумме углов треугольника:
   $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
2. Угол $\angle BCD$ (внешний) и угол $\angle C$ (внутренний) являются смежными. По свойству смежных углов их сумма равна $180^\circ$:
   $\angle BCD + \angle C = 180^\circ$.
3. Из первого равенства выразим сумму углов, не смежных с внешним:
   $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.
4. Из второго равенства выразим внешний угол:
   $\angle BCD = 180^\circ - \angle C$.
5. Правые части выражений, полученных в пунктах 3 и 4, равны. Следовательно, равны и левые части:
   $\angle BCD = \angle A + \angle B$.

Что и требовалось доказать (Ч.Т.Д.).

Ответ: Теорема доказана. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Доказательство основано на теореме о сумме углов треугольника и свойстве смежных углов.