Номер 292, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 292, страница 87.

Условие.

292 Даны отрезки $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $P_3Q_3$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы:

a) $AB=P_1Q_1, BC=P_2Q_2, CA=2P_3Q_3$;

б) $AB=2P_1Q_1, BC=P_2Q_2, CA=\frac{3}{2}P_3Q_3$.

Всегда ли задача имеет решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Требуется построить треугольник $ABC$ со сторонами $AB = P_1Q_1$, $BC = P_2Q_2$ и $CA = 2P_3Q_3$.

Построение:

1. Сначала необходимо построить отрезки, длины которых будут равны сторонам будущего треугольника. Длины двух сторон, $AB$ и $BC$, уже заданы отрезками $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ соответственно. Необходимо построить отрезок, равный $2P_3Q_3$. Для этого на произвольной прямой отложим от некоторой точки $C$ с помощью циркуля последовательно два отрезка, равных $P_3Q_3$. Конец второго отрезка обозначим точкой $A$. Полученный отрезок $CA$ будет иметь длину $2P_3Q_3$.
2. Теперь выполним построение треугольника по трем известным сторонам: $AB = P_1Q_1$, $BC = P_2Q_2$ и $CA = 2P_3Q_3$. На прямой, где мы уже построили сторону $CA$, проведем из точки $A$ как из центра дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $P_1Q_1$.
3. Затем из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $P_2Q_2$.
4. Точка пересечения этих двух дуг является третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $B$.
5. Соединив точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, получим искомый треугольник $ABC$.

Анализ и условие существования решения:

Построение треугольника по трем сторонам возможно тогда и только тогда, когда выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Обозначим длины исходных отрезков как $l_1 = |P_1Q_1|$, $l_2 = |P_2Q_2|$ и $l_3 = |P_3Q_3|$. Тогда стороны треугольника $ABC$ должны удовлетворять следующим условиям:

• $|AB| + |BC| > |CA| \implies l_1 + l_2 > 2l_3$
• $|AB| + |CA| > |BC| \implies l_1 + 2l_3 > l_2$
• $|BC| + |CA| > |AB| \implies l_2 + 2l_3 > l_1$

Так как длины исходных отрезков $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $P_3Q_3$ могут быть произвольными, эти условия могут не выполняться. Например, если отрезок $P_3Q_3$ будет слишком длинным по сравнению с $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$, то неравенство $l_1 + l_2 > 2l_3$ может быть нарушено, и треугольник построить будет невозможно.

Ответ: Задача имеет решение не всегда. Построение возможно только в том случае, если длины отрезков $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $2P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника.

б)

Требуется построить треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 2P_1Q_1$, $BC = P_2Q_2$ и $CA = \frac{3}{2}P_3Q_3$.

Построение:

1. Как и в предыдущем пункте, сначала построим отрезки, равные сторонам искомого треугольника.
   • Построение отрезка длиной $2P_1Q_1$ аналогично пункту а): на прямой последовательно откладываются два отрезка $P_1Q_1$.
   • Для построения отрезка длиной $\frac{3}{2}P_3Q_3$ можно использовать теорему Фалеса. Проведем отрезок $P_3Q_3$. Из точки $P_3$ проведем произвольный луч, не лежащий на прямой $P_3Q_3$. На этом луче отложим от точки $P_3$ три равных отрезка произвольной длины: $P_3M_1 = M_1M_2 = M_2M_3$. Соединим точку $M_2$ с точкой $Q_3$. Через точку $M_3$ проведем прямую, параллельную отрезку $M_2Q_3$. Точка пересечения этой прямой с прямой $P_3Q_3$ (назовем ее $Q'_3$) определит отрезок $P_3Q'_3$. Согласно теореме Фалеса, $|P_3Q'_3| = \frac{|P_3M_3|}{|P_3M_2|} \cdot |P_3Q_3| = \frac{3}{2}|P_3Q_3|$.
2. Теперь, имея три отрезка, равные сторонам будущего треугольника ($2P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $\frac{3}{2}P_3Q_3$), строим треугольник $ABC$ по трем сторонам, как это описано в пункте а).
3. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$ длиной $2|P_1Q_1|$.
4. Из точки $A$ проводим дугу радиусом $\frac{3}{2}|P_3Q_3|$.
5. Из точки $B$ проводим дугу радиусом $|P_2Q_2|$.
6. Точка пересечения дуг будет вершиной $C$. Соединяем вершины $A$, $B$, $C$.

Анализ и условие существования решения:

Решение существует тогда и только тогда, когда для длин сторон $2|P_1Q_1|$, $|P_2Q_2|$ и $\frac{3}{2}|P_3Q_3|$ выполняется неравенство треугольника. Обозначив $l_1 = |P_1Q_1|$, $l_2 = |P_2Q_2|$, $l_3 = |P_3Q_3|$, получим систему неравенств:

• $2l_1 + l_2 > \frac{3}{2}l_3$
• $2l_1 + \frac{3}{2}l_3 > l_2$
• $l_2 + \frac{3}{2}l_3 > 2l_1$

Поскольку длины исходных отрезков произвольны, эти условия могут не выполняться. Например, если отрезок $P_1Q_1$ будет слишком длинным, то неравенство $l_2 + \frac{3}{2}l_3 > 2l_1$ может быть нарушено.

Ответ: Задача имеет решение не всегда. Построение возможно только в том случае, если длины отрезков $2P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $\frac{3}{2}P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника.

Общий вывод на вопрос "Всегда ли задача имеет решение?":

Нет, в общем случае задача не всегда имеет решение. В обоих пунктах, а) и б), построение треугольника возможно только при выполнении неравенства треугольника для вычисленных длин его сторон. Так как длины исходных отрезков $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $P_3Q_3$ могут быть любыми, нет гарантии, что эти неравенства будут выполнены.