Номер 286, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 286, страница 86.

Условие.

286 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Задача на построение треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла. Решение состоит из анализа, описания шагов построения, доказательства и исследования.

Анализ

Пусть даны отрезок длины $b$, угол $\alpha$ и отрезок длины $l_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором одна из сторон, например $AC$, равна $b$, прилежащий к ней угол $\angle BAC$ равен $\alpha$, и биссектриса $AL$, проведенная из вершины $A$, равна $l_a$.

Биссектриса $AL$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle CAL = \angle LAB = \alpha/2$. Это означает, что мы можем построить треугольник $ALC$, так как в нем известны две стороны $AC = b$, $AL = l_a$ и угол между ними $\angle CAL = \alpha/2$.

Однако более прямой метод построения выглядит так:
1. Построить угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
2. На одной из сторон угла отложить отрезок $AC$, равный $b$.
3. Построить биссектрису этого угла и отложить на ней отрезок $AL$, равный $l_a$.
4. Вершины $A$ и $C$, а также точка $L$ на стороне $BC$ теперь известны. Вершина $B$ искомого треугольника должна лежать одновременно на луче, являющемся второй стороной угла $\alpha$, и на прямой, проходящей через точки $C$ и $L$.
Следовательно, вершина $B$ находится как точка пересечения этих двух прямых.

Построение

1. Проведем произвольный луч $AX$.
2. От луча $AX$ построим угол $\angle XAY$, равный данному углу $\alpha$.
3. На луче $AX$ от вершины $A$ отложим отрезок $AC$, равный данной стороне $b$.
4. Построим биссектрису $AZ$ угла $\angle XAY$.
5. На луче $AZ$ от вершины $A$ отложим отрезок $AL$, равный данной биссектрисе $l_a$.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $L$.
7. Точка пересечения прямой $CL$ и луча $AY$ будет третьей вершиной искомого треугольника — точкой $B$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна данному отрезку $b$ по построению (шаг 3). Угол $\angle BAC$ (совпадающий с $\angle XAY$) равен данному углу $\alpha$ по построению (шаг 2). Отрезок $AL$ по построению (шаги 4 и 5) лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$, имеет длину $l_a$, и его конец $L$ лежит на стороне $BC$ (шаг 7). Следовательно, $AL$ является биссектрисой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если прямая $CL$ пересекает луч $AY$ в единственной точке $B$, отличной от $A$.
1. Прямая $CL$ и луч $AY$ пересекутся в единственной точке, если они не параллельны. Прямые $CL$ и $AY$ будут параллельны, если накрест лежащие углы при секущей $AL$ равны, то есть $\angle ALC = \angle LAY$. Так как $AL$ — биссектриса, $\angle LAY = \alpha/2$. Значит, условие параллельности — $\angle ALC = \alpha/2$. В треугольнике $ALC$ это означало бы, что $\angle LAC = \angle ALC = \alpha/2$, то есть $\triangle ALC$ — равнобедренный с $AC = LC$. В этом случае угол $\angle C$ треугольника $ABC$ был бы равен $180^\circ - \alpha$, а сумма углов $\angle A + \angle C = \alpha + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$, что невозможно для треугольника. Таким образом, при $\angle ALC = \alpha/2$ решения нет. Это условие эквивалентно равенству $l_a = 2b \cos(\alpha/2)$.
2. Для того чтобы точка пересечения $B$ лежала на луче $AY$ (а не на его продолжении за точку $A$), необходимо, чтобы внешний угол $\angle ALC$ треугольника $ABL$ был больше внутреннего несмежного с ним угла $\angle LAB$. То есть, должно выполняться неравенство $\angle ALC > \angle LAB = \alpha/2$.
3. В треугольнике $ALC$ большему углу противолежит большая сторона. Неравенство $\angle ALC > \angle LAC$ ($\angle LAC = \alpha/2$) равносильно неравенству $AC > LC$.
4. Выразим $LC$ через данные величины по теореме косинусов для $\triangle ALC$: $LC^2 = AC^2 + AL^2 - 2 \cdot AC \cdot AL \cdot \cos(\angle LAC) = b^2 + l_a^2 - 2bl_a \cos(\alpha/2)$.
5. Условие $AC > LC$ принимает вид $b^2 > LC^2$, то есть $b^2 > b^2 + l_a^2 - 2bl_a \cos(\alpha/2)$. Упрощая, получаем $0 > l_a^2 - 2bl_a \cos(\alpha/2)$, или $2bl_a \cos(\alpha/2) > l_a^2$. Так как $l_a > 0$, можно разделить на $l_a$: $l_a < 2b \cos(\alpha/2)$.
Следовательно, задача имеет единственное решение, если $l_a < 2b \cos(\alpha/2)$. Если $l_a \ge 2b \cos(\alpha/2)$, задача решения не имеет.

Ответ: Для построения треугольника необходимо выполнить следующие шаги: 1) построить угол, равный данному углу $\alpha$; 2) на одной из сторон угла отложить отрезок, равный данной стороне $b$, получив вершины $A$ и $C$; 3) построить биссектрису этого угла; 4) на биссектрисе отложить отрезок, равный $l_a$, получив точку $L$; 5) провести прямую через точки $C$ и $L$; 6) точка пересечения этой прямой со второй стороной угла является третьей вершиной $B$. Построение возможно и решение единственно при условии $l_a < 2b \cos(\alpha/2)$.