Номер 279, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 279, страница 86.

Условие.

279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Пусть дана прямая $a$ и множество точек, которые мы обозначим как $M$.
1. Все точки из множества $M$ расположены по одну сторону от прямой $a$.
2. Все точки из множества $M$ равноудалены от прямой $a$. Пусть это расстояние равно $h$, где $h > 0$.

Доказать:

Все точки множества $M$ лежат на одной прямой $b$, которая параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Доказательство:

1. Выберем две произвольные точки $A$ и $B$ из множества точек $M$.

2. Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ из точек $A$ и $B$ на прямую $a$. Точки $A_1$ и $B_1$ будут лежать на прямой $a$.

3. По условию, длины этих перпендикуляров равны $h$. Таким образом, $AA_1 = h$ и $BB_1 = h$, а значит $AA_1 = BB_1$. Также, по построению, имеем $AA_1 \perp a$ и $BB_1 \perp a$.

4. Рассмотрим получившийся четырехугольник $A_1B_1BA$. Так как две прямые ($AA_1$ и $BB_1$) перпендикулярны третьей прямой ($a$), то они параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$.

5. Мы имеем четырехугольник $A_1B_1BA$, в котором две противоположные стороны $AA_1$ и $BB_1$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

6. Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $A_1B_1$.

7. Отрезок $A_1B_1$ лежит на прямой $a$. Значит, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, параллельна прямой $a$.

8. Поскольку точки $A$ и $B$ были выбраны произвольно, это означает, что любая пара точек из множества $M$ лежит на прямой, параллельной $a$. Через две точки можно провести только одну прямую, следовательно, все точки множества $M$ лежат на одной и той же прямой, назовем ее $b$, и эта прямая параллельна прямой $a$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Множество всех точек плоскости, расположенных по одну сторону от данной прямой и на одинаковом расстоянии от неё, образует прямую, параллельную данной.