Номер 276, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 276, страница 85.

Условие.

276 □ Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан отрезок $AB$ и его середина $M$. По определению середины отрезка, $AM = MB$. Через точку $M$ проведена произвольная прямая $l$. Требуется доказать, что концы отрезка, то есть точки $A$ и $B$, находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры на прямую $l$. Обозначим их основания как $A_1$ и $B_1$ соответственно. Таким образом, по построению $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$. Задача сводится к доказательству равенства длин этих перпендикуляров: $AA_1 = BB_1$.

Рассмотрим треугольники, которые у нас образовались: $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$.

1. Оба эти треугольника являются прямоугольными, так как углы $\angle AA_1M$ и $\angle BB_1M$ прямые ($\_90^\circ\_$) по построению перпендикуляров.

2. Стороны $AM$ и $MB$ являются гипотенузами в этих треугольниках. По условию задачи $M$ — середина отрезка $AB$, следовательно, гипотенузы равны: $AM = MB$.

3. Углы $\angle AMA_1$ и $\angle BMB_1$ равны как вертикальные углы, которые образуются при пересечении прямой, содержащей отрезок $AB$, и прямой $l$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, катет $AA_1$ треугольника $\triangle AA_1M$ равен соответствующему катету $BB_1$ треугольника $\triangle BB_1M$. Итак, $AA_1 = BB_1$.

Данное доказательство охватывает общий случай. Для полноты картины рассмотрим два частных случая:

- Случай 1: Отрезок $AB$ лежит на прямой $l$. В этой ситуации расстояние от точек $A$ и $B$ до прямой $l$ равно нулю, следовательно, они равны.

- Случай 2: Отрезок $AB$ перпендикулярен прямой $l$. В этом случае основания перпендикуляров, опущенных из $A$ и $B$ на $l$, совпадут с точкой $M$. Тогда расстояние от $A$ до $l$ будет равно длине отрезка $AM$, а расстояние от $B$ до $l$ — длине отрезка $BM$. Так как $M$ — середина $AB$, то $AM = BM$, и расстояния в этом случае также равны.

Мы показали, что во всех возможных конфигурациях расстояния от концов отрезка до прямой, проходящей через его середину, равны.

Ответ: Утверждение доказано. Концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через его середину.