Номер 270, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 270, страница 80.

Условие.

270 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и точка $A$ внутри него. Требуется построить прямую, проходящую через точку $A$, которая пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$ так, что отрезки, отсекаемые от вершины угла, равны, то есть $OB = OC$.

Анализ

Если искомая прямая, пересекающая стороны угла в точках $B$ и $C$, отсекает равные отрезки $OB = OC$, то треугольник $\triangle OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также высотой. Это означает, что биссектриса угла $\angle BOC$ перпендикулярна прямой $BC$. Отсюда следует, что искомая прямая, содержащая отрезок $BC$, должна быть перпендикулярна биссектрисе данного угла. Это свойство является ключом к построению.

Построение

Алгоритм построения искомой прямой:

1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису $k$ данного угла с вершиной $O$.
2. Из данной точки $A$ опускаем перпендикуляр на биссектрису $k$. Прямая, содержащая этот перпендикуляр, и есть искомая прямая $m$.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ проходит через точку $A$ и пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$, а биссектрису $k$ — в точке $D$. По построению, прямая $m$ перпендикулярна биссектрисе $k$, следовательно, $\angle ODB = \angle ODC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ODC$.

• $OD$ — общая сторона (катет).
• $\angle BOD = \angle COD$, так как $k$ — биссектриса угла $\angle BOC$.

Прямоугольные треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ODC$ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $OB = OC$.

Таким образом, построенная прямая $m$ проходит через точку $A$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.

Ответ: Необходимо построить биссектрису данного угла, а затем через точку $A$ провести прямую, перпендикулярную этой биссектрисе. Построенная прямая будет искомой.